Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo \mathbb{R}^{n}.
U=(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x=2 y e z=0 \subset \mathbb{R}^{4}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o subconjunto
U=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^{4}\mid x=2y\\ \text{e}\\ z=0\}
é um subespaço de \mathbb{R}^{4}. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Todo vetor de U tem coordenadas que satisfazem \;x=2y\; e \;z=0.
  • O espaço ambiente é \mathbb{R}^{4}.
    A pergunta única é: U é (ou não é) um subespaço de \mathbb{R}^{4}?

Passo 2

Definição prática (aqui explico devagar): um subconjunto W de \mathbb{R}^{n} é subespaço quando três propriedades são satisfeitas ao mesmo tempo:
  1. W contém o vetor nulo (0,0,\dots,0).
  2. W é fechado sob adição: se u\in W e v\in W então u+v\in W.
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: se u\in W e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda u\in W.
Por que essas três? Porque um subespaço precisa ser um espaço vetorial por si só, e essas condições garantem que as operações vetoriais permaneçam dentro de W. Na prática, checamos essas três para decidir.

Passo 3

Verificação do vetor zero (não pule isso na prova!): o vetor zero em \mathbb{R}^{4} é (0,0,0,0). Substituindo nas condições de U:
  • x=0 e y=0 satisfazem \;x=2y\; porque 0=2\cdot 0.
  • z=0 já é verdade.
    Portanto (0,0,0,0)\in U. A primeira condição está satisfeita.

Passo 4

Fechamento por adição (passo a passo didático). Pegue vetores arbitrários u,v\in U. Como eles pertencem a U, podemos escrevê-los usando parâmetros para as coordenadas livres y e t:
u=(x_1,y_1,z_1,t_1)=(2y_1,y_1,0,t_1),\qquad v=(x_2,y_2,z_2,t_2)=(2y_2,y_2,0,t_2),
onde y_1,y_2,t_1,t_2\in\mathbb{R}. Agora some:
u+v=(2y_1+2y_2,\;y_1+y_2,\;0+0,\;t_1+t_2).
Observe que a primeira coordenada é 2(y_1+y_2), a segunda é y_1+y_2 e a terceira é 0. Logo
u+v=\bigl(2(y_1+y_2),\;y_1+y_2,\;0,\;t_1+t_2\bigr).
Isso satisfaz as condições x=2y e z=0, portanto u+v\in U. Concluímos que U é fechado sob adição.

Passo 5

Fechamento por multiplicação por escalar (também passo a passo). Tome u\in U escrito como antes u=(2y_1,y_1,0,t_1) e um escalar \lambda\in\mathbb{R}. Então
\lambda u=(\lambda\cdot 2y_1,\;\lambda y_1,\;\lambda\cdot 0,\;\lambda t_1)=(2(\lambda y_1),\;\lambda y_1,\;0,\;\lambda t_1).
Denotando y'=\lambda y_1 e t'=\lambda t_1, vemos que \lambda u=(2y',y',0,t'), ou seja, satisfaz x=2y e z=0. Portanto \lambda u\in U. Assim U é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Conclusão e interpretação adicional útil para a prova: já verificamos as três propriedades exigidas, logo U é um subespaço de \mathbb{R}^{4}.
Além disso, é útil visualizar U em forma de geração (isso ajuda a entender dimensão e a usar em problemas): parametrize com y e t:
( x,y,z,t )=(2y,y,0,t)=y(2,1,0,0)+t(0,0,0,1).
Portanto
U=\text{span}\{(2,1,0,0),\;(0,0,0,1)\},
ou seja, U é um subespaço de dimensão 2.

Resposta

Sim, U é subespaço de \mathbb{R}^{4}.

Exercícios relacionados