Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo
.
e
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o subconjunto
é um subespaço de
. Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Todo vetor de
tem coordenadas que satisfazem e . - O espaço ambiente é
.
A pergunta única é:é (ou não é) um subespaço de ?
Passo 2
Definição prática (aqui explico devagar): um subconjunto
de
é subespaço quando três propriedades são satisfeitas ao mesmo tempo:
-
contém o vetor nulo . -
é fechado sob adição: se e então . -
é fechado sob multiplicação por escalar: se e então .
Por que essas três? Porque um subespaço precisa ser um espaço vetorial por si só, e essas condições garantem que as operações vetoriais permaneçam dentro de
. Na prática, checamos essas três para decidir.
Passo 3
Verificação do vetor zero (não pule isso na prova!): o vetor zero em
é
. Substituindo nas condições de
:
-
e satisfazem porque . -
já é verdade.
Portanto. A primeira condição está satisfeita.
Passo 4
Fechamento por adição (passo a passo didático). Pegue vetores arbitrários
. Como eles pertencem a
, podemos escrevê-los usando parâmetros para as coordenadas livres
e
:
onde
. Agora some:
Observe que a primeira coordenada é
, a segunda é
e a terceira é
. Logo
Isso satisfaz as condições
e
, portanto
. Concluímos que
é fechado sob adição.
Passo 5
Fechamento por multiplicação por escalar (também passo a passo). Tome
escrito como antes
e um escalar
. Então
Denotando
e
, vemos que
, ou seja, satisfaz
e
. Portanto
. Assim
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Conclusão e interpretação adicional útil para a prova: já verificamos as três propriedades exigidas, logo
é um subespaço de
.
Além disso, é útil visualizar
em forma de geração (isso ajuda a entender dimensão e a usar em problemas): parametrize com
e
:
Portanto
ou seja,
é um subespaço de dimensão
.
Resposta
Sim,
é subespaço de
.