Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo \mathbb{R}^{n}.
S=(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+y+z+t=0 \subset \mathbb{R}^{4}

Passo 1

O enunciado dá o subconjunto
S=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^{4}\mid x+y+z+t=0\}.
A pergunta é: "Determine se S é um subespaço de \mathbb{R}^{4}".
Informações relevantes fornecidas: a condição linear homogênea x+y+z+t=0 que define S, e o espaço ambiente \mathbb{R}^{4}. Não há outras restrições.

Passo 2

Definição prática que vamos usar (explicada devagar): um subconjunto W de \mathbb{R}^{n} é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três propriedades:
  1. W não é vazio (ou equivalentemente contém o vetor nulo \mathbf{0}).
  2. É fechado sob soma: se u\in W e v\in W, então u+v\in W.
  3. É fechado sob multiplicação por escalares: se u\in W e \lambda\in\mathbb{R}, então \lambda u\in W.
Por que estas propriedades bastam? Porque o conjunto de axiomas de espaço vetorial exige existência do zero, fechamento para soma e escalares, e a verificação dessas três junto com as operações herdadas de \mathbb{R}^n garante todas as demais propriedades (como associatividade, existência de inverso aditivo, etc.). Vamos testar essas três propriedades para S.

Passo 3

Verificação 1 — vetor zero: o vetor nulo em \mathbb{R}^{4} é \mathbf{0}=(0,0,0,0). Calcule a soma das coordenadas:
0+0+0+0=0.
Como a condição de S é x+y+z+t=0, concluímos que \mathbf{0}\in S. Assim S não é vazio.

Passo 4

Verificação 2 — fechamento por soma: seja
u=(x_{1},y_{1},z_{1},t_{1})\in S \qquad\text{e}\qquad v=(x_{2},y_{2},z_{2},t_{2})\in S.
Pelo fato de u e v estarem em S sabemos que
x_{1}+y_{1}+z_{1}+t_{1}=0 \qquad\text{e}\qquad x_{2}+y_{2}+z_{2}+t_{2}=0.
Considere u+v=(x_{1}+x_{2},\,y_{1}+y_{2},\,z_{1}+z_{2},\,t_{1}+t_{2}). A soma das coordenadas de u+v é
(x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})+(z_{1}+z_{2})+(t_{1}+t_{2}) =(x_{1}+y_{1}+z_{1}+t_{1})+(x_{2}+y_{2}+z_{2}+t_{2}).
Cada parêntese é zero, portanto a soma total é 0+0=0. Logo u+v satisfaz a condição e, portanto, u+v\in S. Assim S é fechado sob soma.
Exemplo concreto para intuir: tome u=(1,-1,0,0) e v=(2,0,-2,0). Ambos satisfazem 1-1+0+0=0 e 2+0-2+0=0. A soma é (3,-1,-2,0) e 3-1-2+0=0, ou seja, continua em S.

Passo 5

Verificação 3 — fechamento por multiplicação escalar: seja \lambda\in\mathbb{R} e u=(x_{1},y_{1},z_{1},t_{1})\in S, com
x_{1}+y_{1}+z_{1}+t_{1}=0.
Considere \lambda u=(\lambda x_{1},\lambda y_{1},\lambda z_{1},\lambda t_{1}). A soma das coordenadas de \lambda u é
\lambda x_{1}+\lambda y_{1}+\lambda z_{1}+\lambda t_{1} =\lambda(x_{1}+y_{1}+z_{1}+t_{1}).
Como x_{1}+y_{1}+z_{1}+t_{1}=0, a expressão vale \lambda\cdot 0=0. Portanto \lambda u satisfaz a condição e \lambda u\in S. Assim S é fechado sob multiplicação por escalares. Observe que o caso \lambda=0 retorna o vetor zero já verificado no passo 3.

Passo 6

Resumo das verificações: mostramos que S contém \mathbf{0}, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalares. Essas três verificações cobrem as condições necessárias para S ser um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{4}.

Passo 7

Comentário didático extra (útil para prova): conjuntos definidos por equações lineares homogêneas do tipo
a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots+a_{n}x_{n}=0
(sendo os a_{i} constantes, nem todas zero) são sempre subespaços de \mathbb{R}^{n}. No nosso caso particular a equação é x+y+z+t=0 (coeficientes (1,1,1,1)), que tem dimensão 3. Uma base conveniente de S é, por exemplo,
(1,0,0,-1),\quad (0,1,0,-1),\quad (0,0,1,-1),
porque um vetor (x,y,z,t) com x+y+z+t=0 pode ser escrito como
x(1,0,0,-1)+y(0,1,0,-1)+z(0,0,1,-1).
Isso mostra também que S é um plano afim passando pela origem de dimensão 3 dentro de \mathbb{R}^4.

Resposta

Sim. S é um subespaço de \mathbb{R}^{4}.

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