Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo
.
Passo 1
O enunciado dá o subconjunto
A pergunta é: "Determine se
é um subespaço de
".
Informações relevantes fornecidas: a condição linear homogênea que define
, e o espaço ambiente
. Não há outras restrições.
Informações relevantes fornecidas: a condição linear homogênea
Passo 2
Definição prática que vamos usar (explicada devagar): um subconjunto
de
é subespaço vetorial se e somente se satisfaz três propriedades:
-
não é vazio (ou equivalentemente contém o vetor nulo ). - É fechado sob soma: se
e , então . - É fechado sob multiplicação por escalares: se
e , então .
Por que estas propriedades bastam? Porque o conjunto de axiomas de espaço vetorial exige existência do zero, fechamento para soma e escalares, e a verificação dessas três junto com as operações herdadas de
garante todas as demais propriedades (como associatividade, existência de inverso aditivo, etc.). Vamos testar essas três propriedades para
.
Passo 3
Verificação 1 — vetor zero: o vetor nulo em
é
. Calcule a soma das coordenadas:
Como a condição de
é
, concluímos que
. Assim
não é vazio.
Passo 4
Verificação 2 — fechamento por soma: seja
Pelo fato de
e
estarem em
sabemos que
Considere
. A soma das coordenadas de
é
Cada parêntese é zero, portanto a soma total é
. Logo
satisfaz a condição e, portanto,
. Assim
é fechado sob soma.
Exemplo concreto para intuir: tome
e
. Ambos satisfazem
e
. A soma é
e
, ou seja, continua em
.
Passo 5
Verificação 3 — fechamento por multiplicação escalar: seja
e
, com
Considere
. A soma das coordenadas de
é
Como
, a expressão vale
. Portanto
satisfaz a condição e
. Assim
é fechado sob multiplicação por escalares. Observe que o caso
retorna o vetor zero já verificado no passo 3.
Passo 6
Resumo das verificações: mostramos que
contém
, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalares. Essas três verificações cobrem as condições necessárias para
ser um subespaço vetorial de
.
Passo 7
Comentário didático extra (útil para prova): conjuntos definidos por equações lineares homogêneas do tipo
(sendo os
constantes, nem todas zero) são sempre subespaços de
. No nosso caso particular a equação é
(coeficientes
), que tem dimensão
. Uma base conveniente de
é, por exemplo,
porque um vetor
com
pode ser escrito como
Isso mostra também que
é um plano afim passando pela origem de dimensão
dentro de
.
Resposta
Sim.
é um subespaço de
.