Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo
.
e
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o subconjunto
é um subespaço de
.
Informações dadas: a condição relaciona
e
; a condição
fixa a segunda coordenada em zero. Não há nenhuma restrição sobre
além de pertencer a
.
Informações dadas: a condição
Passo 2
Vamos lembrar, de forma prática, o que é preciso checar para um subconjunto
de um espaço vetorial
ser subespaço:
-
não é vazio — convenientemente verificamos se o vetor zero está em . - Fechamento por soma: se
e , então . - Fechamento por multiplicação escalar: se
e , então .
Se as três propriedades são verdadeiras,é subespaço. Vou checar exatamente essas propriedades para , passo a passo.
Passo 3
Checagem do vetor zero: o vetor zero em
é
. Verificamos as condições:
logo
. Portanto
não é vazio — primeira condição satisfeita.
Passo 4
Escrevemos um elemento genérico de
. As condições dizem
e
, logo
. Assim um vetor genérico de
tem a forma
onde
e
são livres. Podemos reescrever esse vetor como combinação linear de dois vetores fixos:
Isso já dá uma descrição paramétrica útil de
.
Passo 5
Fechamento por soma: tomemos
Somando coordenada a coordenada:
Notamos que a segunda coordenada continua sendo
e que a primeira mais a terceira são
Portanto
satisfaz as condições de
, logo
. Assim
é fechado sob soma.
Passo 6
Fechamento por multiplicação escalar: tome
e
. Então
A segunda coordenada continua sendo
e a soma da primeira com a terceira é
Logo
. Assim
é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 7
Como
contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que
é um subespaço de
. Além disso, da representação paramétrica
vemos que
é o subespaço gerado (span) dos vetores
e
. Esses dois vetores são linearmente independentes (se
então
e
), portanto formam uma base de
e
.
Resposta
Sim.
é subespaço de
. Uma base é
e
.