Determine se os subconjuntos abaixo são subespaços do respectivo \mathbb{R}^{n}.
S=(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x+z=0 e y=0 \subset \mathbb{R}^{4}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o subconjunto
S=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^{4}\mid x+z=0\\ \text{e}\\ y=0\}
é um subespaço de \mathbb{R}^{4}.
Informações dadas: a condição x+z=0 relaciona x e z; a condição y=0 fixa a segunda coordenada em zero. Não há nenhuma restrição sobre t além de pertencer a \mathbb{R}.

Passo 2

Vamos lembrar, de forma prática, o que é preciso checar para um subconjunto W de um espaço vetorial V ser subespaço:
  1. W não é vazio — convenientemente verificamos se o vetor zero está em W.
  2. Fechamento por soma: se u\in W e v\in W, então u+v\in W.
  3. Fechamento por multiplicação escalar: se u\in W e \alpha\in\mathbb{R}, então \alpha u\in W.
    Se as três propriedades são verdadeiras, W é subespaço. Vou checar exatamente essas propriedades para S, passo a passo.

Passo 3

Checagem do vetor zero: o vetor zero em \mathbb{R}^4 é (0,0,0,0). Verificamos as condições:
0+0=0 \quad\text{e}\quad 0=0,
logo (0,0,0,0)\in S. Portanto S não é vazio — primeira condição satisfeita.

Passo 4

Escrevemos um elemento genérico de S. As condições dizem y=0 e x+z=0, logo z=-x. Assim um vetor genérico de S tem a forma
(x,0,-x,t),
onde x\in\mathbb{R} e t\in\mathbb{R} são livres. Podemos reescrever esse vetor como combinação linear de dois vetores fixos:
(x,0,-x,t) = x\,(1,0,-1,0) + t\,(0,0,0,1).
Isso já dá uma descrição paramétrica útil de S.

Passo 5

Fechamento por soma: tomemos
u=(x_1,0,-x_1,t_1)\in S,\qquad v=(x_2,0,-x_2,t_2)\in S.
Somando coordenada a coordenada:
u+v=(x_1+x_2,\;0,\;-(x_1+x_2),\;t_1+t_2).
Notamos que a segunda coordenada continua sendo 0 e que a primeira mais a terceira são
(x_1+x_2)+(-(x_1+x_2))=0.
Portanto u+v satisfaz as condições de S, logo u+v\in S. Assim S é fechado sob soma.

Passo 6

Fechamento por multiplicação escalar: tome \alpha\in\mathbb{R} e u=(x,0,-x,t)\in S. Então
\alpha u = (\alpha x,\;0,\;-\alpha x,\;\alpha t).
A segunda coordenada continua sendo 0 e a soma da primeira com a terceira é
\alpha x + (-\alpha x) = 0.
Logo \alpha u\in S. Assim S é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 7

Como S contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que S é um subespaço de \mathbb{R}^4. Além disso, da representação paramétrica
S=\{x(1,0,-1,0)+t(0,0,0,1)\mid x,t\in\mathbb{R}\}
vemos que S é o subespaço gerado (span) dos vetores (1,0,-1,0) e (0,0,0,1). Esses dois vetores são linearmente independentes (se a(1,0,-1,0)+b(0,0,0,1)=(0,0,0,0) então a=0 e b=0), portanto formam uma base de S e \dim(S)=2.

Resposta

Sim. S é subespaço de \mathbb{R}^{4}. Uma base é \{(1,0,-1,0),(0,0,0,1)\} e \dim(S)=2.

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