Determine quais subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de . Justifique as suas respostas.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
C = a & b c & d in M(2,2) mid b = c
é um subespaço vetorial de M(2,2). Vamos usar o critério padrão de subespaço: mostrar que o vetor zero está em C, que C é fechado sob soma e sob multiplicação escalar.
Passo 2
Antes de mais nada, o vetor zero em M(2,2) é
0 = 0 & 0 0 & 0
Como no zero temos b=0 e c=0, vale b=c, logo 0in C.
Passo 3
Para a soma, considere X=a1 & b1 c1 & d1 e Y=a2 & b2 c2 & d2 em C. Isso implica b1=c1 e b2=c2. Então
X+Y=a1+a2 & b1+b2 c1+c2 & d1+d2
Como b1+b2=c1+c2, concluímos X+Yin C, ou seja, C é fechado sob soma.
Passo 4
Para a multiplicação escalar, tome lambdainR e X=a & b c & din C, onde b=c. Então
lambda X=lambda a & lambda b lambda c & lambda d
Como lambda b=lambda c, segue lambda Xin C. Assim, C é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 5
Como satisfaz os três requisitos (contém o zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar), concluímos que C é um subespaço vetorial de M(2,2).