Determine quais subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de . Justifique as suas respostas.
Passo 1
O enunciado define o subconjunto
D = { [a \ b; c \ d] ∈ M(2,2) | b = 1 } e pede para verificar se D é subespaço vetorial de M(2,2). Vamos usar o critério de subespaço: deve conter o vetor zero e ser fechado sob adição e multiplicação escalar.
Passo 2
Para verificar se D contém o vetor zero, observe que o vetor zero em M(2,2) é
02times2=0 & 00 & 0
Aqui o elemento na posição (1,2) é b = 0, mas em D exigimos b = 1. Logo
02times2notin D
Isso já mostra que D não pode ser subespaço, pois todo subespaço deve conter o vetor zero.
Passo 3
Para reforçar, verifiquemos o fechamento:
Se A e B estão em D, ambos têm b = 1. Então em A + B o elemento b é 1 + 1 = 2, não igual a 1, logo A + B ∉ D.
Se λ ∈ ℝ e A ∈ D tem b = 1, então λA tem b = λ·1 = λ, que só seria 1 se λ = 1. Para λ ≠ 1, λA ∉ D.
Portanto, D não é fechado nem sob adição nem sob multiplicação escalar.