Encontre, se possível, condições sobre os números a, b para que as matrizes abaixo sejam diagonalizáveis:
lll1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 0 & 0 & a

Passo 1

O enunciado pede para achar condições sobre o parâmetro a (e b, mas aqui só aparece a) de modo que a matriz A seja diagonalizável. O conteúdo é diagonalização de matrizes, e vamos precisar do polinômio característico e das multiplicidades algébrica e geométrica dos autovalores para decidir diagonalizabilidade.

Passo 2

Vamos calcular o polinômio característico de A. Subtraindo lambda da diagonal e expandindo o determinante:
det(A-lambda I)=det1-lambda & 1 & 11 & 1-lambda & 10 & 0 & a-lambda=(a-lambda)det1-lambda & 11 & 1-lambda
Simplificando o menor 2×2:
det1-lambda & 11 & 1-lambda=(1-lambda)^2-1=lambda(lambda-2)
Logo o polinômio característico é
chiA(lambda)=lambda(lambda-2)(a-lambda),

Passo 3

Dele surgem três autovalores: 0, 2 e a, com multiplicidades algébricas: ma(0)=1 se aneq0,2, ma(2)=1 se aneq2, e ma(a)=1 se aneq0,2. Se aneq0,2, todos são distintos e portanto A é diagonalizável.
Precisamos ainda checar quando há repetição de autovalores, isto é, os casos a=0 e a=2:
  • Se a=0, então 0 tem multiplicidade algébrica 2. O espaço próprio de lambda=0 satisfaz Av=0, ou seja, x+y+z=0 (duas vezes), dando posto 1 e nulidade 2. Logo a multiplicidade geométrica de 0 é 2 = multiplicidade algébrica. Assim A é diagonalizável.
  • Se a=2, então 2 tem multiplicidade algébrica 2. Para lambda=2 resolvemos (A-2I)v=0 e obtemos z=0 e y=x, ou seja, um único grau de liberdade. A multiplicidade geométrica de 2 é 1 < 2, falha de diagonalização.

Resposta

A matriz A é diagonalizável para todos os valores de a exceto a=2.

Exercícios relacionados