Para as matrizes das TLs R^n R^n, com n de acordo com a dimensão das matrizes, expressas na base canônica dadas abaixo, determine, uma base de autovetores:
ll1 & 2 2 & 1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base de autovetores da transformação linear em R^2 representada pela matriz A=1 & 22 & 1 na base canônica. O conteúdo envolve cálculo de polinômio característico, autovalores e autovetores.

Passo 2

Começamos montando o polinômio característico de A. Usamos a definição det(A-lambda I)=0 para achar os autovalores:
detl(1 & 22 & 1-lambda1 & 00 & 1r) =det1-lambda & 22 & 1-lambda =(1-lambda)^2-4 =lambda^2-2lambda-3

Passo 3

Resolvendo lambda^2-2lambda-3=0 obtemos os autovalores:
lambda=3 e lambda=-1

Passo 4

Para cada autovalor, resolvemos (A-lambda I)v=0 e achamos um autovetor não nulo:
  • Para lambda=3:
1-3 & 22 &1-3v=0 implies -2 &22 &-2xy=0 implies -2x+2y=0implies y=x Um autovetor associado é (1,1).
  • Para lambda=-1:
1+1 &22 &1+1v=0 implies 2 &22 &2xy=0 implies 2x+2y=0implies y=-x Um autovetor associado é (1,-1).

Resposta

Uma base de autovetores de A é {(1,1),,(1,-1)}.

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