Encontre, se possível, condições sobre os números a, b para que as matrizes abaixo sejam diagonalizáveis:
rrr-9 & 5 & 3 0 & a & 3 0 & 0 & b

Passo 1

O enunciado pede para achar condições sobre os números reais a e b tais que a matriz triangular superior
A=-9 & 5 & 30 & a & 30 & 0 & b
seja diagonalizável. O conteúdo envolvido é diagonalização de matrizes e vamos precisar dos conceitos de valor próprio (autovalor) e multiplicidade algébrica versus multiplicidade geométrica.

Passo 2

Como A é triangular, seus autovalores são exatamente os elementos da diagonal: lambda1=-9, lambda2=a e lambda3=b. Lembrando que uma matriz é diagonalizável se, para cada autovalor, a multiplicidade geométrica (dimensão do respectivo autoespaço) for igual à multiplicidade algébrica.

Passo 3

Primeiro caso: todos os autovalores são distintos. Se -9, a e b são três números distintos, então a multiplicidade algébrica de cada um é 1 e, consequentemente, a multiplicidade geométrica também é 1. Logo, A será diagonalizável sempre que
aneq b, aneq -9, bneq -9

Passo 4

Segundo caso: há autovalor repetido. Precisamos igualar multiplicidade geométrica e algébrica. Existem três subcasos possíveis de repetição:
• Se a=bneq -9, então o autovalor lambda=a=b tem multiplicidade algébrica 2. Ao resolver (A - aI)x=0 encontramos apenas um vetor-livre não-nulo, ou seja, multiplicidade geométrica 1. Logo não diagonaliza.
• Se a=-9 (e bneq -9), então -9 tem multiplicidade algébrica 2. Ao resolver (A +9I)x=0 também obtemos apenas um vetor-livre, logo não diagonalizável.
• Se b=-9 (e aneq -9), o autovalor -9 tem multiplicidade algébrica 2. Ao resolver (A +9I)x=0 chegamos ao sistema
5,x_2 +3,x_3=0,
(a+9),x_2 +3,x_3=0.
Para existir dimensão de núcleo igual a 2 (e não apenas 1), as duas equações devem ser proporcionais, isto é,
5a+9=33=1implies a+9=5implies a=-4
Assim, se b=-9 e a=-4, a multiplicidade geométrica de -9 será 2, fechando a diagonalização.

Passo 5

Portanto, A só é diagonalizável em dois cenários: ou todos os autovalores são distintos ou ocorre o caso especial de repetição em -9 com a=-4.

Resposta

A é diagonalizável exatamente se
  1. a, b e -9 são todos distintos (isto é, aneq b, aneq -9 e bneq -9);
    ou
  2. b=-9 e a=-4.

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