18 Seja
um operador linear. Um subespaço
de
é chamado
-invariante se
. Mostre que que se
é
-invariante e possui adjunto, então
é
-invariante.
Passo 1
Vamos pensar direitinho no que a questão pede: temos um operador linear T em um espaço interno V, e um subespaço W que é T-invariante, ou seja, T(W) ⊆ W. O objetivo é mostrar que o ortogonal de W, que é W^{\perp}, fica invariante para o adjunto de T, isto é, T*(W{\perp}) ⊆ W^{\perp}. Para resolver isso, vamos usar a definição de adjunto e a propriedade de invariância de W.
Passo 2
Primeiro, vale relembrar a definição de adjunto e o que significa ser T-invariante. O adjunto T^* é o único operador que satisfaz
para todos v,w em V. E dizer que W é T-invariante significa que, sempre que w está em W, T w também está em W.
Passo 3
Agora pegamos um vetor x qualquer em W^{\perp}. Por definição de ortogonal, isso significa que \langle x, w\rangle = 0 para todo w em W. Queremos mostrar que T^* x ainda fica em W^{\perp}, ou seja, que \langle T^* x, w\rangle = 0 para todo w em W.
Passo 4
Usando a propriedade do adjunto, para qualquer w em W temos
Mas como W é invariável por T, T w está em W, e como x está em W^{\perp}, segue que
Logo \langle T^* x, w\rangle = 0 para todo w em W, o que mostra que T^* x pertence a W^{\perp}.
Passo 5
Portanto, acabamos de provar que todo x em W^{\perp} é enviado por T^* para W^{\perp}, isto é, T*(W{\perp}) ⊆ W^{\perp}.
Resposta
W^{\perp} é T^{}-invariante, pois para todo x em W^{\perp} e todo w em W temos \langle T^ x, w\rangle = \langle x, T w\rangle = 0, usando que T w \in W e x \perp W.