18 Seja T um operador linear. Um subespaço W de V é chamado T-invariante se T(W) subseteq W. Mostre que que se W é T-invariante e possui adjunto, então W^perp é T^*-invariante.

Passo 1

Vamos pensar direitinho no que a questão pede: temos um operador linear T em um espaço interno V, e um subespaço W que é T-invariante, ou seja, T(W) ⊆ W. O objetivo é mostrar que o ortogonal de W, que é W^{\perp}, fica invariante para o adjunto de T, isto é, T*(W{\perp}) ⊆ W^{\perp}. Para resolver isso, vamos usar a definição de adjunto e a propriedade de invariância de W.

Passo 2

Primeiro, vale relembrar a definição de adjunto e o que significa ser T-invariante. O adjunto T^* é o único operador que satisfaz
lang<= T v, wrang<= = lang<= v, T^* wrang<=
para todos v,w em V. E dizer que W é T-invariante significa que, sempre que w está em W, T w também está em W.

Passo 3

Agora pegamos um vetor x qualquer em W^{\perp}. Por definição de ortogonal, isso significa que \langle x, w\rangle = 0 para todo w em W. Queremos mostrar que T^* x ainda fica em W^{\perp}, ou seja, que \langle T^* x, w\rangle = 0 para todo w em W.

Passo 4

Usando a propriedade do adjunto, para qualquer w em W temos
lang<= T^* x, wrang<= = lang<= x, T wrang<=
Mas como W é invariável por T, T w está em W, e como x está em W^{\perp}, segue que
lang<= x, T wrang<= = 0
Logo \langle T^* x, w\rangle = 0 para todo w em W, o que mostra que T^* x pertence a W^{\perp}.

Passo 5

Portanto, acabamos de provar que todo x em W^{\perp} é enviado por T^* para W^{\perp}, isto é, T*(W{\perp}) ⊆ W^{\perp}.

Resposta

W^{\perp} é T^{}-invariante, pois para todo x em W^{\perp} e todo w em W temos \langle T^ x, w\rangle = \langle x, T w\rangle = 0, usando que T w \in W e x \perp W.

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