Determine se os subconjuntos
, dados abaixo, são subespaços de
. Justifique sua resposta.
(b)
.
(b)
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial total
(todas as matrizes
com entradas reais) e o subconjunto
Para mostrar que
é subespaço precisamos verificar três propriedades:
- O vetor zero de
pertence a . -
é fechado sob adição. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos o vetor zero de
, que é a matriz
Aqui
a=0 ,
d=0 e
b=0=-c , logo
a=d e
b=-c . Portanto
Passo 3
Fechamento sob adição. Tomemos
em
W2 . Então
a1=d1 ,
b1=-c1 e
a2=d2 ,
b2=-c2 . A soma é
Como
a1=d1 e
a2=d2 , segue
E como
bi=-ci , temos
Logo
A1+A2 satisfaz as mesmas condições e pertence a
W2 .
Passo 4
Fechamento sob escalar. Seja
lambdainR e
isto é,
a=d e
b=-c . Então
Como
a=d implica
lambda a=lambda d , e
b=-c implica
lambda b = -,lambda c , concluímos que
lambda Ain W2 .