Determine se os subconjuntos W1, W2 e W3, dados abaixo, são subespaços de E. Justifique sua resposta.
(b) W2=(lla & b c & d) in M(2 times 2, R): a=d, b=-c, E=M(2 times 2, R).

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial total E=M(2times2,R) (todas as matrizes 2times2 com entradas reais) e o subconjunto
W2=la & b c & din M(2times2,R):a=d,;b=-cr
Para mostrar que W2 é subespaço precisamos verificar três propriedades:
  1. O vetor zero de E pertence a W2.
  2. W2 é fechado sob adição.
  3. W2 é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos o vetor zero de E, que é a matriz
0 = 0 & 0 0 & 0
Aqui a=0, d=0 e b=0=-c, logo a=d e b=-c. Portanto
0in W2

Passo 3

Fechamento sob adição. Tomemos
A1 = a1 & b1 c1 & d1, A2 = a2 & b2 c2 & d2
em W2. Então a1=d1, b1=-c1 e a2=d2, b2=-c2. A soma é
A1 + A2 = a1+a2 & b1+b2 c1+c2 & d1+d2
Como a1=d1 e a2=d2, segue
a1+a2 = d1+d2
E como bi=-ci, temos
b1+b2 = -,c1 + -,c2 = -(c1+c2)
Logo A1+A2 satisfaz as mesmas condições e pertence a W2.

Passo 4

Fechamento sob escalar. Seja lambdainR e
A = a & b c & din W2,
isto é, a=d e b=-c. Então
lambda A = lambda a & lambda b lambda c & lambda d
Como a=d implica lambda a=lambda d, e b=-c implica lambda b = -,lambda c, concluímos que lambda Ain W2.

Resposta

W2 é subespaço de E.

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