O lugar geométrico definido pela interseção da esfera com o plano é um círculo.
i) Determine o centro e o raio do círculo.
Sugestão: Calcule a distância entre o centro da esfera e o plano.
ii) Elimine a variável nas equações acima (do círculo e do plano) e mostre que a equação algébrica obtida define uma elipse no plano xy.
Passo 1
O enunciado dá a esfera
com centro e raio , e o plano
A interseção esfera–plano, quando existe, é um círculo. Para achar seu centro e raio, usamos a distância de ao plano; depois, para mostrar que a projeção no plano é uma elipse, eliminamos substituindo .
Passo 2
O vetor normal ao plano é . A distância de ao plano vale
Como d=0, o plano passa pelo centro da esfera. Logo o centro da circunferência de interseção é
Ccírc=C=(2,-1,0), í
e seu raio é
r = raizR^2-d^2 = raiz1-0 = 1
Passo 3
Para obter a equação no plano xy, isolamos
z = 1 - x - y
na equação do plano e substituímos na equação da esfera.
Passo 4
Substituindo em (x-2)^2+(y+1)^2+z^2=1 vem
(x-2)^2+(y+1)^2+(1-x-y)^2=1
Expandindo e simplificando chega-se à forma
2x^2+2xy+2y^2-6x+5=0
Passo 5
No conso geral Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 temos aqui A=2, B=2, C=2. O discriminante é