O lugar geométrico definido pela interseção da esfera (x-2)^2+(y+1)^2+z^2=1 com o plano x+y+z=1 é um círculo.
i) Determine o centro e o raio do círculo.
Sugestão: Calcule a distância entre o centro da esfera e o plano.
ii) Elimine a variável z nas equações acima (do círculo e do plano) e mostre que a equação algébrica obtida define uma elipse no plano xy.

Passo 1

O enunciado dá a esfera
(x-2)^2+(y+1)^2+z^2=1
com centro C=(2,-1,0) e raio R=1, e o plano
x+y+z=1
A interseção esfera–plano, quando existe, é um círculo. Para achar seu centro e raio, usamos a distância de C ao plano; depois, para mostrar que a projeção no plano xy é uma elipse, eliminamos z substituindo z=1-x-y.

Passo 2

O vetor normal ao plano é n=(1,1,1). A distância de C ao plano x+y+z=1 vale
d = l|2+(-1)+0-1r|raiz1^2+1^2+1^2 = |0|raiz3 = 0
Como d=0, o plano passa pelo centro da esfera. Logo o centro da circunferência de interseção é
Ccírc=C=(2,-1,0), í
e seu raio é
r = raizR^2-d^2 = raiz1-0 = 1

Passo 3

Para obter a equação no plano xy, isolamos
z = 1 - x - y
na equação do plano e substituímos na equação da esfera.

Passo 4

Substituindo em (x-2)^2+(y+1)^2+z^2=1 vem
(x-2)^2+(y+1)^2+(1-x-y)^2=1
Expandindo e simplificando chega-se à forma
2x^2+2xy+2y^2-6x+5=0

Passo 5

No conso geral Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0 temos aqui A=2, B=2, C=2. O discriminante é
De<a = B^2-4AC = 2^2 -4cdot2cdot2 = 4 -16 = -12 < 0,
portanto define uma elipse no plano xy.

Resposta

i) Centro do círculo (2,-1,0) e raio 1.
ii) Eliminando z obtém-se
2x^2+2xy+2y^2-6x+5=0,
que é uma elipse, pois o discriminante B^2-4AC é negativo.

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