Determine se os subconjuntos W1, W2 e W3, dados abaixo, são subespaços de E. Justifique sua resposta.
(a) W1=(x, y) in R^2: x-y^2=0, E=R^2;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
W1=(x,y)inR^2: x - y^2 = 0
é um subespaço de E=R^2.
Para isso, precisamos conferir três propriedades:
  1. o vetor zero está em W1;
  2. W1 é fechado sob adição;
  3. W1 é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0) pertence a W1.
Calculamos
0 - 0^2 = 0,
logo (0,0)in W1. A primeira condição está satisfeita.

Passo 3

Analisamos o fechamento em adição. Seja
u=(ux,uy)in W1, v=(vx,vy)in W1
Pela definição, ux = uy^2 e vx = vy^2. Então
u+v = (,uy^2 + vy^2,;uy + vy,)
Para que u+vin W1 deveríamos ter
(uy^2 + vy^2) - (uy + vy)^2 = 0
Mas
(uy^2 + vy^2) - (uy^2 + 2uyvy + vy^2) = -2,uyvy,
que nem sempre é zero. Portanto, W1 não é fechado sob adição.

Passo 4

Analisamos o fechamento na multiplicação escalar. Seja alphainR e
u=(uy^2,uy)in W1
Então
alpha,u = (alpha,uy^2,;alpha,uy)
Para alpha,uin W1 precisaríamos
alpha,uy^2 - (alpha,uy)^2 = alpha,uy^2 - alpha^2,uy^2 = uy^2,(alpha - alpha^2) = 0
para todo alpha e uy, o que só ocorre se alpha=0 ou alpha=1. Logo não é fechado para escalares em geral.

Passo 5

Como falha o fechamento em adição e em multiplicação por escalar, concluímos que W1 não satisfaz as condições de subespaço.

Resposta

W1 não é subespaço de R^2.

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