Determine se os subconjuntos
, dados abaixo, são subespaços de
. Justifique sua resposta.
(a)
;
(a)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
é um subespaço de .
Para isso, precisamos conferir três propriedades:
é um subespaço de
Para isso, precisamos conferir três propriedades:
- o vetor zero está em
; -
é fechado sob adição; -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero
pertence a
.
Calculamos
Calculamos
logo
. A primeira condição está satisfeita.
Passo 3
Analisamos o fechamento em adição. Seja
Pela definição,
e
. Então
Para que
deveríamos ter
Mas
que nem sempre é zero. Portanto,
não é fechado sob adição.
Passo 4
Analisamos o fechamento na multiplicação escalar. Seja
e
Então
Para
precisaríamos
para todo
e
, o que só ocorre se
ou
. Logo não é fechado para escalares em geral.
Passo 5
Como falha o fechamento em adição e em multiplicação por escalar, concluímos que
não satisfaz as condições de subespaço.