3 (2 pts.) Determine o núcleo e a imagem da seguinte transformação linear,
Passo 1
O enunciado pede para determinar o núcleo e a imagem da transformação linear
definida por
Usaremos os conceitos de núcleo (kernel) e de imagem (range) de uma transformação linear.
Passo 2
Para achar o núcleo de
resolvemos
isto é
Dessas três igualdades segue que
Passo 3
Logo os vetores que pertencem ao núcleo têm a forma
Podemos escrever
Passo 4
Para achar a imagem de
note que, dado um vetor arbitrário
, basta escolher
para obter
Assim todo vetor de
é alcançado por
.
Passo 5
Concluímos que
Verificando pelo Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo–Imagem), temos
isto é
, conferindo os resultados.