3 (2 pts.) Determine o núcleo e a imagem da seguinte transformação linear,
T: R^4 R^3, T(x, y, z, w)=(x-w, y-w, z-w)

Passo 1

O enunciado pede para determinar o núcleo e a imagem da transformação linear
T: R^4 to R^3
definida por
T(x,y,z,w) = (x - w,,y - w,,z - w)
Usaremos os conceitos de núcleo (kernel) e de imagem (range) de uma transformação linear.

Passo 2

Para achar o núcleo de T resolvemos
T(x,y,z,w) = (0,0,0)
isto é
x - w = 0
y - w = 0
z - w = 0
Dessas três igualdades segue que
x = w
y = w
z = w

Passo 3

Logo os vetores que pertencem ao núcleo têm a forma
Podemos escrever

Passo 4

Para achar a imagem de T note que, dado um vetor arbitrário (a,b,c)inR^3, basta escolher
x = a, y = b, z = c, w = 0
para obter
T(a,b,c,0) = (a,b,c)
Assim todo vetor de R^3 é alcançado por T.

Passo 5

Concluímos que
Im(T) = R^3
Verificando pelo Teorema da Dimensão (ou Teorema Núcleo–Imagem), temos
dim(ker T) + dim(Im T) = 4,
isto é 1 + 3 = 4, conferindo os resultados.

Resposta

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