Determine o subgrupo cíclico gerado por 6 no grupo Z15.

Passo 1

Nesta questão queremos encontrar o subgrupo cíclico gerado pelo elemento 6 no grupo Z15. O conteúdo envolve subgrupos cíclicos e ordem de um elemento em grupos aditivos modulares.

Passo 2

Em grupos cíclicos, o subgrupo gerado por um elemento g é definido como lang<= grang<= = kcdot g mid kin Z. No nosso caso, vamos usar lang<= 6rang<= em Z15, ou seja, todos os múltiplos de 6 módulo 15.

Passo 3

A ordem do elemento 6 em Z15 é dada por tfrac15gcd(6,15). Como gcd(6,15)=3, temos tfrac153=5, ou seja, 6 gera um ciclo de 5 elementos antes de repetir.

Passo 4

Agora calculamos os 5 primeiros múltiplos de 6 em Z15:
0cdot 6 equiv 0, 1cdot 6 equiv 6, 2cdot 6 equiv 12, 3cdot 6 equiv 18 equiv 3, 4cdot 6 equiv 24 equiv 9
Após o quinto múltiplo, voltamos a 0 e o ciclo se fecha.

Resposta

0,3,6,9,12

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