Determine os pontos de máximo e mínimo da função f(x, y)=4 x-x^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos de máximo e mínimo da função f(x,y)=4x - x^2 + y^2. Isso faz parte de cálculo de várias variáveis: precisamos encontrar pontos críticos usando derivadas parciais e depois classificar esses pontos com o teste do Hessiano.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f:
partial fpartial x = 4 - 2x,
partial fpartial y = 2y

Passo 3

Encontrar os pontos críticos igualando as derivadas parciais a zero:
4 - 2x = 0 implies x = 2,
2y = 0 implies y = 0
Assim, o único ponto crítico é (2,0).

Passo 4

Construir o Hessiano, ou seja, a matriz das segundas derivadas:
H = partial^2 fpartial x^2 & partial^2 fpartial xpartial y partial^2 fpartial ypartial x & partial^2 fpartial y^2 = -2 & 0 0 & 2

Passo 5

Aplicar o teste de classificação: o determinante do Hessiano em (2,0) é
det(H) = (-2)(2) - 0 = -4 < 0
Como o determinante é negativo, o ponto (2,0) é um ponto de sela, não sendo nem máximo nem mínimo.

Resposta

A função não possui pontos de máximo nem de mínimo; o único ponto crítico em (2,0) é um ponto de sela.

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