Leonhard Euler foi capaz de calcular a soma exata da série p com p=2: sumn=1^infty 1n^2=pi^26. Utilize esse fato para encontrar a soma das séries abaixo.
(b) sumn=3^infty 1(n+1)^2

Passo 1

A gente quer somar a série sumn=3^infty 1(n+1)^2. O conteúdo aqui é série do tipo p com p=2, e o que precisamos usar é o famoso resultado de Euler:
sumn=1^infty1n^2=pi^26

Passo 2

Para aproveitar esse resultado, fazemos uma troca de índice. Se definirmos k=n+1, então quando n=3 temos k=4, e quando ntoinfty temos ktoinfty. Assim

Passo 3

sumn=3^infty1(n+1)^2 = sumk=4^infty1k^2 = sumk=1^infty1k^2 - sumk=1^31k^2

Passo 4

Agora basta calcular a soma finita dos três primeiros termos:
sumk=1^31k^2 = 1 + 14 + 19 = 36 + 9 + 436 = 4936

Passo 5

Finalmente, subtraímos de pi^2/6:
sumn=3^infty1(n+1)^2 = pi^26 - 4936 = 6pi^2 - 4936

Resposta

sumn=3^infty1(n+1)^2 = 6pi^2 - 4936

Exercícios relacionados