Determine as superfícies de nível para as seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as superfícies de nível da função $ f(x, y, z) = x^{2} + \frac{y^{2}}{4} - z^{2} $. Isso faz parte da matéria de Geometria Analítica ou Matemática 3D, onde a gente estuda como representar formas geométricas no espaço usando equações. Para resolver, vamos entender o que são superfícies de nível e como identificar que tipo de superfície cada caso representa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma superfície de nível. Basicamente, é o conjunto de todos os pontos
que satisfazem a equação $ f(x, y, z) = c $, onde $ c $ é uma constante. Então, vamos substituir nossa função na equação:
Agora, precisamos analisar essa equação para diferentes valores de $ c $.
Passo 3
Vamos considerar três casos para $ c $: quando $ c > 0 $, $ c = 0 $ e $ c < 0 $. Cada caso vai nos dar um tipo diferente de superfície.
1. Quando $ c > 0 $:
A equação fica:
Podemos reescrever isso como:
Essa é a equação de um hiperboloide de uma folha. Esse tipo de superfície parece um prato ou uma sela e se estende infinitamente em todas as direções.
2. Quando $ c = 0 $:
A equação fica:
Podemos rearranjar para:
Essa é a equação de um cone duplo. Ele tem duas partes que se estendem em direções opostas a partir da origem, formando uma forma pontiaguda.
3. Quando $ c < 0 $:
A equação fica:
Rearranjando:
Isso nos dá a equação de um hiperboloide de duas folhas. Esse tipo de superfície consiste em duas “folhas” separadas que se afastam uma da outra, cada uma se estendendo indefinidamente.
Resposta
As superfícies de nível para a função $ f(x, y, z) = x^{2} + \frac{y^{2}}{4} - z^{2} $ são:
- Para $ c > 0 $: Hiperboloide de uma folha.
- Para $ c = 0 $: Cone duplo.
- Para $ c < 0 $: Hiperboloide de duas folhas.