Ache a equação do hiperplano em R^4 que passa por P=(0,1,-1,2) e é ortogonal a n=(1,-1,3,-5).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação de um hiperplano no espaço de quatro dimensões, R^4. Um hiperplano em R^4 é uma generalização do conceito de plano em R^3, mas com uma dimensão a mais.
Para isso, vamos precisar de dois elementos importantes:
  1. Um ponto pelo qual o hiperplano passa, que neste caso é P = (0, 1, -1, 2).
  2. Um vetor normal ao hiperplano, que nos dá a orientação do hiperplano no espaço. Aqui, o vetor normal é n = (1, -1, 3, -5).

Passo 2

A equação de um hiperplano em R^4 pode ser escrita de forma geral como:
n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 + n4 x4 = d
Onde (n1, n2, n3, n4) são as componentes do vetor normal n e (x1, x2, x3, x4) são as coordenadas qualquer ponto X no hiperplano. O valor d é uma constante que determina a posição do hiperplano no espaço.

Passo 3

Para encontrar o valor de d, usamos o fato de que o ponto P = (0, 1, -1, 2) está no hiperplano. Isso significa que, substituindo as coordenadas de P na equação do hiperplano, a igualdade deve se manter.
Vamos substituir:
1 cdot 0 + (-1) cdot 1 + 3 cdot (-1) + (-5) cdot 2 = d

Passo 4

Agora, vamos calcular o lado esquerdo da equação para encontrar d:
0 + (-1) + (-3) + (-10) = d
Somando os termos:
-1 - 3 - 10 = d -14 = d

Passo 5

Agora que temos o valor de d, podemos escrever a equação completa do hiperplano substituindo d na equação geral:
1 cdot x1 - 1 cdot x2 + 3 cdot x3 - 5 cdot x4 = -14
Simplificando:
x1 - x2 + 3x3 - 5x4 = -14

Resposta

A equação do hiperplano é:
x1 - x2 + 3x3 - 5x4 = -14

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