Ache a equação do hiperplano em
que passa por
e é ortogonal a
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a equação de um hiperplano no espaço de quatro dimensões,
. Um hiperplano em
é uma generalização do conceito de plano em
, mas com uma dimensão a mais.
Para isso, vamos precisar de dois elementos importantes:
- Um ponto pelo qual o hiperplano passa, que neste caso é
. - Um vetor normal ao hiperplano, que nos dá a orientação do hiperplano no espaço. Aqui, o vetor normal é
.
Passo 2
A equação de um hiperplano em
pode ser escrita de forma geral como:
Onde
são as componentes do vetor normal
e
são as coordenadas qualquer ponto
no hiperplano. O valor
é uma constante que determina a posição do hiperplano no espaço.
Passo 3
Para encontrar o valor de
, usamos o fato de que o ponto
está no hiperplano. Isso significa que, substituindo as coordenadas de
na equação do hiperplano, a igualdade deve se manter.
Vamos substituir:
Passo 4
Agora, vamos calcular o lado esquerdo da equação para encontrar
:
Somando os termos:
Passo 5
Agora que temos o valor de
, podemos escrever a equação completa do hiperplano substituindo
na equação geral:
Simplificando:
Resposta
A equação do hiperplano é: