Determine [T]_{B^{\prime}}^{B} para a transformação linear do exercício 13 para a base B= \{(1,0),(0,1)\} e B^{\prime}=\{(1,1),(2,-1)\}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar [T]_{B^{\prime}}^{B} para uma transformação linear mencionada no “exercício 13”, nas bases B=\{(1,0),(0,1)\} e B'=\{(1,1),(2,-1)\}. Informações dadas explicitamente no enunciado que você me passou:
  • A base domínio B é \{(1,0),(0,1)\}.
  • A base contradomínio B' é \{(1,1),(2,-1)\}.
  • A pergunta: determinar a matriz de T relativa a base domínio B e base contradomínio B', ou seja [T]_{B'}^{B}.
O que NÃO foi fornecido (e é essencial): a definição da transformação linear T ou, equivalentemente, as imagens de (1,0) e (0,1) por T. Sem isso não há como calcular numericamente [T]_{B'}^{B}.

Passo 2

Regra geral (aula rápida e direta): para obter a matriz de uma transformação linear T relativa à base domínio B=\{b_1,\dots,b_n\} e à base contradomínio B'=\{b'_1,\dots,b'_m\}, procedemos assim:
  1. Calculamos T(b_j) para cada vetor da base do domínio.
  2. Expressamos cada T(b_j) como combinação linear dos vetores da base B'.
  3. As coordenadas dessa combinação formam a j-ésima coluna da matriz [T]_{B'}^{B}.
Em palavras: a j-ésima coluna de [T]_{B'}^{B} são as coordenadas de T(b_j) na base B'.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: como B é a base canônica, seus vetores são b_1=(1,0)=e_1 e b_2=(0,1)=e_2. Logo precisamos de T(e_1) e T(e_2) em coordenadas padrão. Se soubermos
T(e_1)=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]y_1\end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad T(e_2)=\begin{pmatrix}x_2\\[4pt]y_2\end{pmatrix},
então expressamos cada um na base B'.
Para transformar coordenadas padrão em coordenadas na base B' usamos a matriz P cujas colunas são os vetores de B' escritos em coordenadas padrão:
P=\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix}.
Se v é um vetor em coordenadas padrão, as coordenadas de v na base B' são dadas por P^{-1}v.]

Passo 4

Vamos calcular P^{-1} explicitamente (passo a passo para você poder fazer na prova sem calculadora, se o número for simples):
  • Determinante de P:
\det(P)=1\cdot(-1)-1\cdot2=-1-2=-3.
  • Inversa de P (fórmula para 2×2):
P^{-1}=\frac{1}{\det(P)}\begin{pmatrix}-1 & -2\\[4pt]-1 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1/3 & 2/3\\[4pt]1/3 & -1/3\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora a fórmula final (expressão simbólica): se montarmos a matriz de T em coordenadas padrão como
A=\begin{pmatrix}x_1 & x_2\\[4pt]y_1 & y_2\end{pmatrix},
cujas colunas são T(e_1) e T(e_2) em coordenadas padrão, então a matriz procurada é
[T]_{B'}^{B}=P^{-1}A.
Calculando o produto, obtemos explicitamente as colunas:
[T]_{B'}^{B} = \begin{pmatrix} \dfrac{1}{3}x_1+\dfrac{2}{3}y_1 & \dfrac{1}{3}x_2+\dfrac{2}{3}y_2\\[8pt] \dfrac{1}{3}x_1-\dfrac{1}{3}y_1 & \dfrac{1}{3}x_2-\dfrac{1}{3}y_2\end{pmatrix}.
Portanto, para calcular numericamente [T]_{B'}^{B} basta conhecer x_1,y_1,x_2,y_2, ou seja T(e_1) e T(e_2) em coordenadas padrão.]

Passo 6

Exemplo concreto (para fixar): suponha, por exemplo, que T(x,y)=(2x+y,\;x-y). Então
T(e_1)=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad T(e_2)=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Aplicando a fórmula:
[T]_{B'}^{B}=P^{-1}\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & -1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \tfrac{1}{3}\cdot2+\tfrac{2}{3}\cdot1 & \tfrac{1}{3}\cdot1+\tfrac{2}{3}\cdot(-1)\\[8pt] \tfrac{1}{3}\cdot2-\tfrac{1}{3}\cdot1 & \tfrac{1}{3}\cdot1-\tfrac{1}{3}\cdot(-1)\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4/3 & -1/3\\[4pt]1/3 & 2/3\end{pmatrix}.
Isto ilustra o procedimento passo a passo que você deve executar na prova quando tiver T.]

Passo 7

Conclusão prática: sem a definição da transformação T (ou sem T(e_1) e T(e_2)), não é possível fornecer o valor numérico de [T]_{B'}^{B}. Se você me passar a fórmula de T ou as imagens de (1,0) e (0,1), eu calculo direto e mostro cada conta devagarinho.

Resposta

Não é possível determinar [T]_{B'}^{B} porque a definição de T do exercício 13 não foi fornecida.

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