Para cada um dos exercícios anteriores em que T é uma transformação linear, determine:
(a) o núcleo e a imagem de cada uma das transformações lineares;
(b) uma base para cada um dos subespaços \operatorname{Ker}(T) e \operatorname{Im}(T) encontrados no item anterior;
(c) se T é injetora e sobrejetora;
(d) se T é um isomorfismo.

Passo 1

O enunciado pede, para cada um dos exercícios anteriores em que T é uma transformação linear, que se determine:
(a) o núcleo \operatorname{Ker}(T) e a imagem \operatorname{Im}(T) de T;
(b) uma base para \operatorname{Ker}(T) e para \operatorname{Im}(T);
(c) se T é injetora e sobrejetora;
(d) se T é um isomorfismo.
Informação relevante dada: o enunciado refere-se a “exercícios anteriores” — contudo, as transformações lineares específicas (as fórmulas ou matrizes de cada T) não foram enviadas aqui. Portanto não há dados numéricos ou regras de transformação concretas para eu calcular os núcleos, imagens e bases correspondentes.

Passo 2

Por causa da falta das transformações específicas, não é possível fornecer respostas numéricas finais para os exercícios anteriores. Vou, então, ensinar passo a passo como resolver qualquer uma dessas questões quando você tiver a transformação T — com detalhes que você pode aplicar diretamente na prova. Primeiro, o que é uma transformação linear e quais propriedades usarás:
  • Uma transformação T: V \to W entre espaços vetoriais é linear se para todos u,v\in V e todo escalar c valem
T(u+v)=T(u)+T(v)
e
T(c\,u)=c\,T(u).
  • O núcleo é o conjunto de vetores de V que vão para o vetor zero de W:
\operatorname{Ker}(T)=\{v\in V \mid T(v)=0\}.
  • A imagem é o conjunto de vetores de W que são atingidos por T:
\operatorname{Im}(T)=\{T(v)\in W \mid v\in V\}.
Essas definições são a base de tudo que vamos fazer.

Passo 3

Como calcular \operatorname{Ker}(T) na prática (receita):
  • Se T for dada por uma matriz A (na base canônica), digamos A é de tamanho m\times n e T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m, então calcular \operatorname{Ker}(T) equivale a resolver o sistema homogêneo
A x = 0,
onde x\in\mathbb{R}^n.
  • Procedimento:
    1. Escreva o sistema na forma matricial e aplique eliminação de Gauss (redução por linhas) para obter a forma escalonada reduzida por linhas.
    2. Identifique as variáveis livres e escreva as soluções em forma paramétrica.
    3. A partir da forma paramétrica, extraia vetores que geram o espaço de soluções; esses vetores formam uma base para \operatorname{Ker}(T).
  • Observação útil (Teorema da nulidade posto em prática):
\dim(\operatorname{Ker}(T)) + \dim(\operatorname{Im}(T)) = \dim(V).
Isso ajuda a checar consistência dos cálculos.
Vou mostrar com um exemplo numérico concreto para você ver passo a passo.

Passo 4

Exemplo 1 (para aprender): seja T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\) representada pela matriz \[A=\begin{pmatrix}1 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 3\end{pmatrix}.
Calcular \operatorname{Ker}(T) passo a passo:
  • Escrevemos o sistema A x = 0. Se x=(x_1,x_2,x_3)^T, então
\begin{cases} x_1 + 2x_2 + 0x_3 = 0,\\[4pt] 0x_1 + x_2 + 3x_3 = 0. \end{cases}
  • Da segunda equação obtemos x_2 = -3x_3\]. - Substituindo na primeira: \(x_1 + 2(-3x_3) = 0, daí x_1 -6x_3 = 0, logo x_1=6x_3.
    - Todas as soluções têm a forma
x = x_3\begin{pmatrix}6\\[4pt]-3\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad x_3\in\mathbb{R}.
  • Conclusão: \operatorname{Ker}(T)=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}6\\[4pt]-3\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}. Uma base para o núcleo é o conjunto formado por esse único vetor.
Nesse mesmo exemplo aplicaremos agora o cálculo da imagem.]

Passo 5

Como calcular \operatorname{Im}(T) na prática:
  • Se T é dada por matriz A, então \operatorname{Im}(T) é o subespaço de \mathbb{R}^m gerado pelas colunas de A:
\operatorname{Im}(T)=\operatorname{span}\{\text{colunas de }A\}.
  • Para obter uma base da imagem, coloque A em forma escalonada por linhas e escolha as colunas-pivô da matriz original; as colunas correspondentes em A formam uma base de \operatorname{Im}(T).
Aplicando ao Exemplo 1:
  • As colunas de A são
c_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix},\quad c_2=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix},\quad c_3=\begin{pmatrix}0\\[4pt]3\end{pmatrix}.
  • Observamos que c_1 e c_2 são linearmente independentes (pois não existe \lambda tal que c_2=\lambda c_1), e já geram um subespaço de dimensão 2, que é a dimensão máxima em \mathbb{R}^2.
  • Logo \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2 e uma base para \operatorname{Im}(T) é \{c_1,c_2\} (ou qualquer outro par de colunas linearmente independentes, por exemplo \{c_2,c_3\} também funciona).
  • Notamos que \dim(\operatorname{Ker}(T))=1 e \dim(\operatorname{Im}(T))=2. Pelo teorema da nulidade, 1+2=3=\dim(\mathbb{R}^3), consistência conferida.]

Passo 6

Como usar os resultados para responder (c) e (d):
  • Injetividade: T é injetora se, e somente se, \operatorname{Ker}(T)=\{0\}. Em termos de dimensões, isso significa \dim(\operatorname{Ker}(T))=0. Outra consequência: se \dim(\operatorname{Ker}(T))=0 então \dim(\operatorname{Im}(T))=\dim(V).
  • Sobrejetividade: T é sobrejetora se, e somente se, \operatorname{Im}(T)=W. Em termos de dimensões quando W é finito-dim.: T é sobrejetora se \dim(\operatorname{Im}(T))=\dim(W).
  • Isomorfismo: T é isomorfismo se for bijetora, isto é, simultaneamente injetora e sobrejetora. Quando V e W têm a mesma dimensão finita, verificar injetividade (ou surjetividade) é suficiente para garantir isomorfismo.
Voltando ao Exemplo 1:
  • \operatorname{Ker}(T)\neq\{0\} (tem dimensão 1), portanto T não é injetora.
  • \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2 (igual ao contradomínio), então T é sobrejetora.
  • Como não é injetora, T não é bijetora e, portanto, não é isomorfismo.

Passo 7

Outro exemplo (mapa entre espaços de mesma dimensão) para fixar a ideia:
Considere S:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) representada por \[B=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]0 & 3\end{pmatrix}.
  • Calcule \operatorname{Ker}(S): resolver B x = 0. Escrevendo as equações,
\begin{cases} 2x_1 + x_2 = 0,\\[4pt] 3x_2 = 0. \end{cases}
Da segunda equação x_2=0\]; então da primeira \(x_1=0. Assim \operatorname{Ker}(S)=\{0\}.
  • Calcule \operatorname{Im}(S): as colunas são d_1=(2,0)^T e d_2=(1,3)^T. Como o determinante de B é 2\cdot 3 - 0\cdot 1 = 6 \neq 0, as colunas são linearmente independentes e geram \mathbb{R}^2. Logo \operatorname{Im}(S)=\mathbb{R}^2.
  • Conclusões: S é injetora (núcleo trivial), sobrejetora (imagem é todo \mathbb{R}^2), portanto bijetora e, consequentemente, é um isomorfismo.
Observação prática: quando T é representada por uma matriz quadrada n\times n, testar se \det(A)\neq 0 é o atalho para concluir que T é isomorfismo (invertível).]

Passo 8

Resumo prático passo a passo que você deve executar em prova quando der uma transformação linear T (regra-rapidez):
  1. Identifique domínio V e contradomínio W e escreva T na forma matricial A (se possível: usando bases escolhidas).
  2. Para \operatorname{Ker}(T): resolva A x = 0 por eliminação de Gauss; escreva solução paramétrica e extraia uma base.
  3. Para \operatorname{Im}(T): olhe para as colunas de A; reduza por linhas para identificar colunas-pivô; as colunas-pivô da matriz original são uma base da imagem.
  4. Use \dim(\operatorname{Ker}(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))=\dim(V) para checar cálculos.
  5. Decida injetividade: checar se \operatorname{Ker}(T)=\{0\}.
  6. Decida sobrejetividade: checar se \dim(\operatorname{Im}(T))=\dim(W).
  7. Se domínio e contradomínio têm mesma dimensão, injetividade implica isomorfismo; alternativamente verifique \det(A)\neq 0 para matrizes quadradas.
Dicas para a prova: faça sempre eliminação de Gauss organizada, escolha variáveis livres com ordem clara e escreva as bases em forma de vetores coluna para ficar legível. Se T for dada por fórmula (ex.: T(p)=p' para polinômios), traduza o problema para um sistema linear entre coordenadas nas bases escolhidas.

Passo 9

O que eu preciso de você para eu calcular exatamente as respostas pedidas inicialmente:
  • Enviar cada transformação T explícita, por exemplo:
    • regra por fórmula (ex.: T(x,y,z)=(x+2y,\,y+3z)), ou
    • matriz A numa base explícita (ex.: A=\begin{pmatrix}1&2&0\\\ 0&1&3\end{pmatrix}).
      Com essa informação eu aplico imediatamente o procedimento acima e devolvo: núcleo, imagem, bases, e se é injetora/sobrejetora/isomorfismo — tudo com passos detalhados.

Passo 10

Força aí — eu sei que é desesperador quando falta tempo, mas com a receita acima você resolve rapidamente cada transformação. Se quiser, me envie agora uma das transformações dos exercícios anteriores (a matriz ou a regra) e eu faço a resolução passo a passo, exatamente nos moldes que a sua prova exige.

Resposta

Não é possível determinar os núcleos, imagens, bases e verificar injetividade/sobrejetividade/isomorfismo porque as transformações lineares específicas (as regras ou matrizes de cada T) não foram fornecidas.

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