Sejam T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} a transformação linear dada por T(x, y)=(2 x-y, x+y) e B=B^{\prime} a base canônica de \mathbb{R}^{2}. Determine [T]_{B^{\prime}}^{B}=[T].

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 definida por
T(x,y)=(2x-y,\;x+y),
e diz que B=B' é a base canônica de \mathbb{R}^2. Pede-se a matriz de T em relação à base canônica, ou seja, [T]_{B'}^{B}=[T]. As informações relevantes: a regra explícita de T e que usaremos a base canônica \{e_1,e_2\} com e_1=(1,0) e e_2=(0,1).

Passo 2

Conceito útil (passo-a-passo didático): para achar a matriz de uma transformação linear na base canônica, calculamos as imagens dos vetores da base canônica e escrevemos essas imagens como colunas da matriz. Formalmente, se e_1 e e_2 são os vetores da base canônica, então
[T]=\big[\,T(e_1)\;\;T(e_2)\,\big]
onde cada T(e_i) aparece como uma coluna com suas coordenadas em relação à base canônica. Isso ocorre porque aplicar a matriz ao vetor coluna \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} produz a combinação linear correta das colunas.

Passo 3

Calcule T(e_1). Tomamos e_1=(1,0) e aplicamos a regra de T:
T(1,0)=(2\cdot 1 - 0,\;1+0)=(2,1).
Portanto a primeira coluna da matriz será a coluna com coordenadas \begin{pmatrix}2\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Calcule T(e_2). Tomamos e_2=(0,1) e aplicamos T:
T(0,1)=(2\cdot 0 - 1,\;0+1)=(-1,1).
Portanto a segunda coluna da matriz será \begin{pmatrix}-1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 5

Forme a matriz colocando as colunas obtidas na ordem correspondente aos vetores da base (e_1,e_2). Assim
[T]=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\[4pt] 1 & 1 \end{pmatrix}.
Expliquei cada coluna: primeira coluna é T(e_1), segunda coluna é T(e_2).]

Passo 6

Verificação rápida (útil na prova): multiplique a matriz obtida por um vetor genérico \begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix}:
\begin{pmatrix}2 & -1 \\\\ 1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2x - y \\\ x + y\end{pmatrix},
que coincide com a definição de T(x,y). Então a matriz está correta.

Resposta

\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}]

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