Sejam
a transformação linear dada por
e
a base canônica de
. Determine
.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
definida por
e diz que
é a base canônica de
. Pede-se a matriz de
em relação à base canônica, ou seja,
. As informações relevantes: a regra explícita de
e que usaremos a base canônica
com
e
.
Passo 2
Conceito útil (passo-a-passo didático): para achar a matriz de uma transformação linear na base canônica, calculamos as imagens dos vetores da base canônica e escrevemos essas imagens como colunas da matriz. Formalmente, se
e
são os vetores da base canônica, então
onde cada
aparece como uma coluna com suas coordenadas em relação à base canônica. Isso ocorre porque aplicar a matriz ao vetor coluna
produz a combinação linear correta das colunas.
Passo 3
Calcule
. Tomamos
e aplicamos a regra de
:
Portanto a primeira coluna da matriz será a coluna com coordenadas
.
Passo 4
Calcule
. Tomamos
e aplicamos
:
Portanto a segunda coluna da matriz será
.
Passo 5
Forme a matriz colocando as colunas obtidas na ordem correspondente aos vetores da base
. Assim
Expliquei cada coluna: primeira coluna é
, segunda coluna é
.]
Passo 6
Verificação rápida (útil na prova): multiplique a matriz obtida por um vetor genérico
:
que coincide com a definição de
. Então a matriz está correta.