Determine:
T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}, \mathbb{R}^{2}\right), tal que \operatorname{Ker}(T)=[(1,0,-1)].

Passo 1

O enunciado pede para determinar uma transformação linear T de \mathbb{R}^{3} em \mathbb{R}^{2} que satisfaça
\operatorname{Ker}(T) = \operatorname{span}\{(1,0,-1)\}.
Informações importantes dadas:
  • O domínio é \mathbb{R}^{3}.
  • O contradomínio é \mathbb{R}^{2}.
  • O núcleo (kernel) de T é a reta gerada pelo vetor (1,0,-1).
    O que se pede: encontrar (ou descrever) uma aplicação linear T com esse núcleo.

Passo 2

Entendendo a relação dimensão do núcleo e posto (Teorema da dimensão / rank-nullity).
O Teorema da dimensão diz que para T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} valem:
\dim(\operatorname{Ker}(T))+\operatorname{rank}(T)=3.
Aqui \dim(\operatorname{Ker}(T))=1 (porque \operatorname{span}\{(1,0,-1)\} é 1‑dimensional), então
\operatorname{rank}(T)=3-1=2.
Ou seja, T deve ter posto 2; em particular, é surjetora (imagem igual a \mathbb{R}^{2}). Isso nos diz que a matriz de T (2 por 3) terá duas linhas linearmente independentes.

Passo 3

Como traduzimos a condição do núcleo em equações para a matriz de T?
Se representarmos T por uma matriz A\in\mathbb{R}^{2\times3}, então v\in\operatorname{Ker}(T) se e só se Av=0. Em particular, devemos ter
A\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Seja r_1,r_2\in\mathbb{R}^3 as duas linhas de A. A condição acima equivale a exigir que cada linha seja ortogonal a (1,0,-1), isto é,
r_i\cdot(1,0,-1)=0\quad\text{para }i=1,2.
Além disso, r_1 e r_2 devem ser linearmente independentes para que \operatorname{rank}(A)=2.]

Passo 4

Construindo linhas ortogonais a (1,0,-1).
Procuramos dois vetores r_1=(a,b,c) e r_2=(d,e,f) tais que
a\cdot1 + b\cdot0 + c\cdot(-1)=0 \quad\Rightarrow\quad a-c=0,
d\cdot1 + e\cdot0 + f\cdot(-1)=0 \quad\Rightarrow\quad d-f=0.
Portanto as linhas têm a forma (t,b,t) e (s,e,s). Para garantir independência linear, basta escolher pares (t,b) e (s,e) que não sejam múltiplos entre si (como vetores em \mathbb{R}^2). Vamos escolher a opção simples e óbvia:
r_1=(1,0,1),\qquad r_2=(0,1,0).
Esses dois vetores satisfazem r_i\cdot(1,0,-1)=0 e são linearmente independentes (porque r_2 tem componente no segundo eixo que r_1 não tem).

Passo 5

Montando a matriz e a transformação.
Com r_1 e r_2 como linhas, a matriz de T escolhida é
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\[4pt]0 & 1 & 0\end{pmatrix}.
Definimos T:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{2} por
T(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x+z\\[4pt]y\end{pmatrix}.]

Passo 6

Verificando que \operatorname{Ker}(T)=\operatorname{span}\{(1,0,-1)\}\). Vamos resolver \(T(x,y,z)=0\), isto é \[\begin{cases} x+z=0,\\[4pt] y=0. \end{cases}
Da primeira equação temos x=-z\]. Então todos os vetores do núcleo têm a forma \[(x,y,z)=(x,0,-x)=x(1,0,-1),\] com \(x\in\mathbb{R}. Logo \operatorname{Ker}(T)=\operatorname{span}\{(1,0,-1)\}, como pedido. Além disso, T tem posto 2 (linhas independentes), coerente com o Teorema da dimensão.]

Passo 7

Forma geral de todas as transformações com esse núcleo.
Qualquer T\in\mathcal{L}(\mathbb{R}^3,\mathbb{R}^2) com \operatorname{Ker}(T)=\operatorname{span}\{(1,0,-1)\} possui matriz cujas linhas são vetores ortogonais a (1,0,-1) e linearmente independentes. Escrevendo linhas gerais, as linhas têm a forma (a,b,a) e (c,d,c) com
\det\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}\neq 0
para garantir independência. Assim a família geral é
T(x,y,z)=\begin{pmatrix}a & b & a\\[4pt]c & d & c\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}a(x+z)+b\,y\\[4pt]c(x+z)+d\,y\end{pmatrix},
com ad-bc\neq 0.]

Resposta

T(x,y,z)=\begin{pmatrix}x+z\\[4pt]y\end{pmatrix}
Forma geral: T(x,y,z)=\begin{pmatrix}a(x+z)+b\,y\\[4pt]c(x+z)+d\,y\end{pmatrix} com \det\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}\neq 0 (qualquer escolha assim dá \operatorname{Ker}(T)=\operatorname{span}\{(1,0,-1)\}).]

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