Determine: T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{3}\right), tal que \operatorname{Ker}(T)=[(1,2,-1),(1,-1,0)].
Passo 1
O enunciado pede para encontrar um operador linear T \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3) tal que o núcleo de T seja o subespaço gerado pelos vetores (1,2,-1) e (1,-1,0). Em outras palavras, precisamos construir T com
e queremos que todo vetor da combinação linear de u_1 e u_2 seja enviado para o vetor nulo por T, enquanto haja algum vetor fora desse plano que seja enviado para um vetor não nulo (pois o núcleo tem dimensão 2, logo a imagem deve ter dimensão 1 pela fórmula do posto-nulidade).
Passo 2
Estratégia geral (explicada didaticamente): se eu quiser que \operatorname{Ker}(T) seja exatamente um plano de \mathbb{R}^3, posso construir primeiro uma forma linear (um funcional linear) \varphi:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} cujo núcleo seja esse plano. Um funcional linear em \mathbb{R}^3 tem a forma \varphi(x)=n\cdot x para algum vetor n (produto escalar). O núcleo de \varphi será o plano ortogonal a n. Então basta achar n ortogonal a u_1 e a u_2. Depois, para converter esse funcional escalar em um operador em \mathbb{R}^3, posso definir
T(x)=\varphi(x)\,w
para algum vetor fixo w\neq 0. Assim T é linear e \operatorname{Ker}(T)=\operatorname{Ker}(\varphi) (pois T(x)=0 se e só se \varphi(x)=0), que é o que queremos. Vou seguir esse caminho.
Passo 3
Como achar n ortogonal a u_1 e u_2: uso o produto vetorial u_1\times u_2, que produz um vetor ortogonal aos dois. Calculo:
u_1\times u_2 = (1,2,-1)\times(1,-1,0).
Faço a conta componente a componente (regra do determinante):
Defino o funcional linear \varphi:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} por produto escalar com n:
\varphi(x)=n\cdot x = -x_1 - x_2 - 3x_3,
onde escrevo x=(x_1,x_2,x_3). Pelo cálculo anterior temos \varphi(u_1)=0 e \varphi(u_2)=0, portanto \operatorname{span}\{u_1,u_2\}\subseteq\operatorname{Ker}(\varphi). Como n\neq 0, \operatorname{Ker}(\varphi) é um plano de dimensão 2, então \operatorname{Ker}(\varphi)=\operatorname{span}\{u_1,u_2\}.
Passo 5
Agora converto \varphi em um operador linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3. Escolho um vetor não nulo em \mathbb{R}^3, por exemplo w=e_1=(1,0,0). Defino
T(x)=\varphi(x)\,e_1.
Essa definição é linear (produto de escalar por vetor fixo é linear em x) e, como observado, \operatorname{Ker}(T)=\operatorname{Ker}(\varphi) porque T(x)=0 se e só se \varphi(x)=0. Logo \operatorname{Ker}(T)=\operatorname{span}\{u_1,u_2\}, exatamente o que queremos.
Passo 6
Escrevendo T de forma explícita em coordenadas: para x=(x_1,x_2,x_3),
o que mostra que a imagem de T é a reta gerada por e_1 (posto 1) e o núcleo é o plano desejado (dimensão 2).]
Passo 7
Verificações finais (para ter certeza, e para você poder explicar na prova): apliquei T aos geradores do núcleo e a um vetor fora do plano.
T(1,2,-1)=(-1-2+3,0,0)=(0,0,0),
T(1,-1,0)=(-1+1+0,0,0)=(0,0,0),
logo os dois geradores vão para zero. E, por exemplo,
T(1,0,0)=(-1,0,0)\neq(0,0,0),
logo existe vetor fora do plano que não é enviado a zero; assim o núcleo não é maior que o plano gerado por u_1,u_2. Como o núcleo tem dimensão 2 e esse plano também, eles coincidem. Tudo consistente.
Resposta
T(x_1,x_2,x_3)=\bigl(-x_1-x_2-3x_3,\;0,\;0\bigr),
ou, equivalentemente, com matriz na base canônica,