Existe alguma transformação linear sobrejetora T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}) ? Por quê?

Passo 1

O que o enunciado pede: “Existe alguma transformação linear sobrejetora T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}) ? Por quê?”\n
Informações relevantes dadas (ou imediatamente dedutíveis):
  • O domínio é \mathbb{R}^{2}.
  • O contradomínio (espaço de chegada) é M_{2}(\mathbb{R}), o espaço de todas as matrizes 2\times2 com entradas reais.
  • Queremos saber se existe uma transformação linear T que seja sobrejetora (isto é, cujo conjunto imagem seja todo M_{2}(\mathbb{R})).

Passo 2

Definição de sobrejetora (num jeito amigo): uma transformação linear T: V \to W é sobrejetora se, para todo vetor w\in W, existe pelo menos um v\in V tal que T(v)=w. Em termos de subespaços, isto equivale a dizer que a imagem de T, denotada \operatorname{Im} T, é igual a todo o espaço W.\n
Definição de posto (rank) e núcleo (kernel), de forma prática:
  • \operatorname{rank} T = \dim(\operatorname{Im} T) é a dimensão do subespaço imagem de T.
  • \ker T = \{v\in V \mid T(v)=0\} e \dim(\ker T) é a dimensão do núcleo.

Passo 3

Vou calcular as dimensões dos espaços envolvidos — isso é crucial:\n
A dimensão de \mathbb{R}^{2} é
\dim(\mathbb{R}^{2})=2.
O espaço M_{2}(\mathbb{R}) tem base formada, por exemplo, pelas matrizes
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&0\end{pmatrix},\quad E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\[2pt]0&0\end{pmatrix},\quad E_{21}=\begin{pmatrix}0&0\\[2pt]1&0\end{pmatrix},\quad E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\[2pt]0&1\end{pmatrix},
que são quatro vetores linearmente independentes. Portanto
\dim\bigl(M_{2}(\mathbb{R})\bigr)=4.]

Passo 4

Teorema fundamental que vamos usar (explicado de forma simples): para qualquer transformação linear T: V\to W vale o Teorema do Núcleo e Imagem (teorema da dimensão), também chamado Rank-Nullity:
\dim(\ker T) + \operatorname{rank} T = \dim(V).
Aqui \operatorname{rank} T=\dim(\operatorname{Im} T). Isso diz que a dimensão da imagem nunca pode ser maior que a dimensão do domínio, porque \dim(\ker T)\ge 0, então
\operatorname{rank} T \le \dim(V).
No nosso caso V=\mathbb{R}^{2}, logo qualquer transformação linear T:\mathbb{R}^{2}\to W satisfaz
\operatorname{rank} T \le 2.

Passo 5

O que significa ser sobrejetora em termos de posto (rank)?\n
Se T fosse sobrejetora com contradomínio M_{2}(\mathbb{R}), então a imagem seria todo M_{2}(\mathbb{R}) e teríamos
\operatorname{rank} T = \dim\bigl(M_{2}(\mathbb{R})\bigr) = 4.

Passo 6

Agora o ponto chave — confronto entre as duas desigualdades:\n
Pelo Passo 4 sabemos que \operatorname{rank} T \le 2. Pelo Passo 5, se T fosse sobrejetora precisaríamos de \operatorname{rank} T = 4. Não dá para ter ao mesmo tempo \operatorname{rank} T \le 2 e \operatorname{rank} T = 4. Isso é uma contradição numérica.

Passo 7

Conclusão lógica (bem direta): não existe nenhuma transformação linear T: \mathbb{R}^{2}\to M_{2}(\mathbb{R}) que seja sobrejetora, porque o espaço de chegada tem dimensão maior do que a dimensão do domínio, e uma aplicação linear não pode aumentar a dimensão da imagem além da dimensão do domínio.

Passo 8

Intuição rápida pra fixar (como um lembrete para a prova): pensar em objetos que têm “mais graus de liberdade” no contradomínio do que no domínio. \mathbb{R}^{2} só tem dois graus de liberdade; M_{2}(\mathbb{R}) tem quatro (cada entrada da matriz é independente). Uma transformação linear não consegue criar graus de liberdade extras — por isso não consegue cobrir todo M_{2}(\mathbb{R}).

Resposta

Não existe transformação linear sobrejetora T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}), pois \dim(\mathbb{R}^{2})=2 e \dim\bigl(M_{2}(\mathbb{R})\bigr)=4, e para ser sobrejetora seria necessário \operatorname{rank} T=4, o que contradiz \operatorname{rank} T\le 2.

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