Existe alguma transformação linear sobrejetora
? Por quê?
Passo 1
O que o enunciado pede: “Existe alguma transformação linear sobrejetora
? Por quê?”\n
Informações relevantes dadas (ou imediatamente dedutíveis):
Informações relevantes dadas (ou imediatamente dedutíveis):
- O domínio é
. - O contradomínio (espaço de chegada) é
, o espaço de todas as matrizes com entradas reais. - Queremos saber se existe uma transformação linear
que seja sobrejetora (isto é, cujo conjunto imagem seja todo ).
Passo 2
Definição de sobrejetora (num jeito amigo): uma transformação linear
é sobrejetora se, para todo vetor
, existe pelo menos um
tal que
. Em termos de subespaços, isto equivale a dizer que a imagem de
, denotada
, é igual a todo o espaço
.\n
Definição de posto (rank) e núcleo (kernel), de forma prática:
Definição de posto (rank) e núcleo (kernel), de forma prática:
-
é a dimensão do subespaço imagem de . -
e é a dimensão do núcleo.
Passo 3
Vou calcular as dimensões dos espaços envolvidos — isso é crucial:\n
A dimensão de é
A dimensão de
O espaço
tem base formada, por exemplo, pelas matrizes
que são quatro vetores linearmente independentes. Portanto
Passo 4
Teorema fundamental que vamos usar (explicado de forma simples): para qualquer transformação linear
vale o Teorema do Núcleo e Imagem (teorema da dimensão), também chamado Rank-Nullity:
Aqui
. Isso diz que a dimensão da imagem nunca pode ser maior que a dimensão do domínio, porque
, então
No nosso caso
, logo qualquer transformação linear
satisfaz
Passo 5
O que significa ser sobrejetora em termos de posto (rank)?\n
Se fosse sobrejetora com contradomínio
, então a imagem seria todo
e teríamos
Se
Passo 6
Agora o ponto chave — confronto entre as duas desigualdades:\n
Pelo Passo 4 sabemos que . Pelo Passo 5, se
fosse sobrejetora precisaríamos de
. Não dá para ter ao mesmo tempo
e
. Isso é uma contradição numérica.
Pelo Passo 4 sabemos que
Passo 7
Conclusão lógica (bem direta): não existe nenhuma transformação linear
que seja sobrejetora, porque o espaço de chegada tem dimensão maior do que a dimensão do domínio, e uma aplicação linear não pode aumentar a dimensão da imagem além da dimensão do domínio.
Passo 8
Intuição rápida pra fixar (como um lembrete para a prova): pensar em objetos que têm “mais graus de liberdade” no contradomínio do que no domínio.
só tem dois graus de liberdade;
tem quatro (cada entrada da matriz é independente). Uma transformação linear não consegue criar graus de liberdade extras — por isso não consegue cobrir todo
.
Resposta
Não existe transformação linear sobrejetora
, pois
e
, e para ser sobrejetora seria necessário
, o que contradiz
.