Determine se . é a rotação em torno do eixo por um ângulo e é a rotação em torno do eixo por um ângulo .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se duas rotações em comutam: é rotação em torno do eixo de ângulo e é rotação em torno do eixo de ângulo .
O conteúdo é Álgebra Linear (matrizes de rotação) e Propriedades de grupos de rotações (SO(3) não é abeliano).
Passo 2
Escrevemos as matrizes dessas rotações no padrão cartesiano:
Compare, por exemplo, o elemento da linha 2 coluna 1:
no primeiro produto é cos(theta1)sin(theta2)
e no segundo é sin(theta2).
Elas coincidem só se cos(theta1)=1 (isto é, theta1 múltiplo de 2pi).
Em geral não há essa condição, logo as duas matrizes são diferentes.
Resposta
Não, em geral T1circ T2neq T2circ T1. As rotações em eixos distintos não comutam em SO(3), salvo casos triviais (theta1 ou theta2 múltiplos de 2pi).