Determine se T1 circ T2=T2 circ T1.
T1: R^3 R^3 é a rotação em torno do eixo x por um ângulo theta1 e T2: R^3 R^3 é a rotação em torno do eixo z por um ângulo theta2.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se duas rotações em R^3 comutam:
T1 é rotação em torno do eixo x de ângulo theta1 e T2 é rotação em torno do eixo z de ângulo theta2.
O conteúdo é Álgebra Linear (matrizes de rotação) e Propriedades de grupos de rotações (SO(3) não é abeliano).

Passo 2

Escrevemos as matrizes dessas rotações no padrão cartesiano:
Rx(theta1)= 1 & 0 & 0 0 & cos(theta1) & -sin(theta1) 0 & sin(theta1) & cos(theta1)
Rz(theta2)= cos(theta2) & -sin(theta2) & 0 sin(theta2) & cos(theta2) & 0 0 & 0 & 1

Passo 3

Calculamos a composição T1circ T2 pela multiplicação Rx(theta1),Rz(theta2):
Rx(theta1),Rz(theta2) = cos(theta2) & -sin(theta2) & 0 cos(theta1),sin(theta2) & cos(theta1),cos(theta2) & -sin(theta1) sin(theta1),sin(theta2) & sin(theta1),cos(theta2) & cos(theta1)

Passo 4

Agora T2circ T1 é Rz(theta2),Rx(theta1):
Rz(theta2),Rx(theta1) = cos(theta2) & -cos(theta1),sin(theta2) & sin(theta1),sin(theta2) sin(theta2) & cos(theta1),cos(theta2) & -sin(theta1),cos(theta2) 0 & sin(theta1) & cos(theta1)

Passo 5

Compare, por exemplo, o elemento da linha 2 coluna 1:
no primeiro produto é cos(theta1)sin(theta2)
e no segundo é sin(theta2).
Elas coincidem só se cos(theta1)=1 (isto é, theta1 múltiplo de 2pi).
Em geral não há essa condição, logo as duas matrizes são diferentes.

Resposta

Não, em geral T1circ T2neq T2circ T1. As rotações em eixos distintos não comutam em SO(3), salvo casos triviais ( theta1 ou theta2 múltiplos de 2pi).

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