Sejam as equações das retas a1 x+b1 y=c1 e a2 x+b2 y=c2. Provar que
(a) as retas são paralelas se e somente se a1a2=b1b2. O qué pode dizer ao respeito de c1 e c2.
(b) as retas são perpendiculares se e somente se a1b1 cdot a2b2=-1

Passo 1

O enunciado dá duas retas em forma geral:
a1x + b1y = c1, a2x + b2y = c2,
e pede que mostremos:
1. São paralelas se, e só se, a1a2 = b1b2. Além disso, o que isso implica sobre c1 e c2.
2. São perpendiculares se, e só se, a1b1cdota2b2 = -1.
Conteúdo necessário: vetor normal à reta e sua relação com paralelismo (vetores paralelos têm determinante zero) e com perpendicularidade (produto escalar zero).

Passo 2

Duas retas são paralelas se, e somente se, seus vetores normais forem paralelos. O vetor normal da reta a1x+b1y=c1 é ,(a1,b1), e o da outra é ,(a2,b2). Vetores paralelos satisfazem
a1b2 - a2b1 = 0
Reescrevendo,
a1b2 = a2b1 Long<=ftrightarrow a1a2 = b1b2,
desde que a2neq0 e b2neq0. Isso prova a condição necessária e suficiente para paralelismo.

Passo 3

Quando duas retas são paralelas mas distintas, a razão comum lambda=tfraca1a2=tfracb1b2 não leva a c1= lambda,c2. De fato, se também c1= lambda,c2, então
a1x + b1y = c1 Long<=ftrightarrow lambdal(a2x + b2yr) = lambda,c2 Long<=ftrightarrow a2x + b2y = c2,
ou seja, as retas coincidem. Logo:
a1a2 = b1b2neq c1c2 &Leftrightarrow retas para<=las distintas,[6pt] a1a2 = b1b2 = c1c2 &Leftrightarrow mesmas reta ]

Passo 4

Duas retas são perpendiculares se, e só se, seus vetores normais têm produto escalar nulo:
(a1,b1)cdot(a2,b2) = a1a2 + b1b2 = 0
Dividindo ambos os lados de a1a2+b1b2=0 por b1b2 (nenhum deles zero), obtemos
a1b1;a2b2 + 1 = 0 Long<=ftrightarrow a1b1;a2b2 = -1,
que é exatamente a condição pedida.

Resposta

(a) As retas são paralelas Leftrightarrow a1a2=b1b2. Se além disso c1c2 for igual à mesma razão, as retas coincidem; caso contrário, são paralelas distintas.
(b) As retas são perpendiculares Leftrightarrow a1b1cdota2b2=-1.

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