Sejam as equações das retas e . Provar que
(a) as retas são paralelas se e somente se . O qué pode dizer ao respeito de e .
(b) as retas são perpendiculares se e somente se
Passo 1
O enunciado dá duas retas em forma geral:
e pede que mostremos:
. São paralelas se, e só se, . Além disso, o que isso implica sobre e .
. São perpendiculares se, e só se, .
Conteúdo necessário: vetor normal à reta e sua relação com paralelismo (vetores paralelos têm determinante zero) e com perpendicularidade (produto escalar zero).
Passo 2
Duas retas são paralelas se, e somente se, seus vetores normais forem paralelos. O vetor normal da reta é , e o da outra é . Vetores paralelos satisfazem
Reescrevendo,
desde que e . Isso prova a condição necessária e suficiente para paralelismo.
Passo 3
Quando duas retas são paralelas mas distintas, a razão comum não leva a . De fato, se também , então
ou seja, as retas coincidem. Logo:
]
Passo 4
Duas retas são perpendiculares se, e só se, seus vetores normais têm produto escalar nulo:
(a1,b1)cdot(a2,b2) = a1a2 + b1b2 = 0
Dividindo ambos os lados de a1a2+b1b2=0 por b1b2 (nenhum deles zero), obtemos
(a) As retas são paralelas Leftrightarrow a1a2=b1b2. Se além disso c1c2 for igual à mesma razão, as retas coincidem; caso contrário, são paralelas distintas.
(b) As retas são perpendiculares Leftrightarrow a1b1cdota2b2=-1.