Sejam T1(x1, x2, x3)=(4 x1,-2 x1+x2,-x1-3 x2) e T2(x1, x2, x3)=(x1+2 x2,-x3, 4 x1-x3).
(a) Encontre as matrizes canônicas de T1 e T2.
(b) Encontre as matrizes canônicas de T2 circ T1 e T1 circ T2.
(c) Use as matrizes encontradas na parte (b) para encontrar fórmulas para T1(T2(x1, x2, x3)) e T2(T1(x1, x2, x3)).

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares T1,T2:R^3toR^3 e pede: (a) as matrizes canônicas (isto é, relativas à base padrão) de T1 e T2; (b) as matrizes das composições T2circ T1 e T1circ T2; (c) usar essas matrizes para obter fórmulas explícitas para T1(T2(x1,x2,x3)) e T2(T1(x1,x2,x3)). Vamos usar a ideia de que a j-ésima coluna da matriz de uma transformação linear é a imagem do j-ésimo vetor da base canônica.

Passo 2

Vamos achar a matriz de T1. Para isso calculamos
T1(1,0,0)=(4,-2,-1), T1(0,1,0)=(0,1,-3), T1(0,0,1)=(0,0,0)
Logo, a matriz canônica de T1 é
[T1] = 4 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 -1 & -3 & 0

Passo 3

Agora a matriz de T2. Calculamos
T2(1,0,0)=(1,0,4), T2(0,1,0)=(2,0,0), T2(0,0,1)=(0,-1,-1)
Portanto,
[T2] = 1 & 2 & 0 0 & 0 & -1 4 & 0 & -1

Passo 4

Para T2circ T1 usamos a multiplicação de matrizes [T2circ T1]=[T2],[T1]. Fazendo o produto, obtemos
[T2circ T1] = 1 & 2 & 0 0 & 0 & -1 4 & 0 & -1 4 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 -1 & -3 & 0 = 0 & 2 & 0 1 & 3 & 0 17 & 3 & 0

Passo 5

Para T1circ T2 usamos [T1circ T2]=[T1],[T2]. Calculando,
[T1circ T2] = 4 & 0 & 0 -2 & 1 & 0 -1 & -3 & 0 1 & 2 & 0 0 & 0 & -1 4 & 0 & -1 = 4 & 8 & 0 -2 & -4 & -1 -1 & -2 & 3

Passo 6

Com as matrizes das composições podemos ler diretamente as fórmulas. Se , então

Resposta

(a) [T1]=4&0&0-2&1&0-1&-3&0, [T2]=1&2&00&0&-14&0&-1.
(b) [T2circ T1]=0&2&01&3&017&3&0, [T1circ T2]=4&8&0-2&-4&-1-1&-2&3.
(c)
T1l(T2(x1,x2,x3)r) =l(4x1+8x2,,-2x1-4x2-x3,,-x1-2x2+3x3r),
T2l(T1(x1,x2,x3)r) =l(2x2,,x1+3x2,,17x1+3x2r)

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