O ponto A(1,-1) é o centro de um quadrado do qual um de seus lados está sobre a reta x-2 y=-12. Determine as equações das retas onde estão contidas os outros três lados. Determine também os vértices do quadrado.

Passo 1

O enunciado dá o centro do quadrado A(1,-1) e diz que um dos lados está contido na reta
L1: x - 2y +12 = 0
Queremos achar as retas que contêm os outros três lados e os quatro vértices do quadrado. Vamos usar geometria analítica: distância ponto–reta, paralelo/perpendicular e interseção de retas.

Passo 2

Em todo quadrado, a distância do centro a cada lado vale metade do comprimento do lado. Seja s o lado. A distância de A à reta L1 é
d = l|1 - 2cdot(-1) +12r|raiz1^2+(-2)^2 = 15raiz5 =3raiz5
Logo s/2 = d, ou seja
s = 2d = 6raiz5

Passo 3

O lado oposto a L1 é paralelo a ela e também fica à distância s/2 do centro, mas no lado oposto. Sua equação é
L2: x - 2y + c = 0,
onde escolhemos c tal que
1 - 2cdot(-1) + craiz5 = -3raiz5 Longrightarrow 1+2+c = -15 Longrightarrow c = -18
Logo
L2: x - 2y - 18 = 0

Passo 4

Os outros dois lados são perpendiculares a L1. Como L1 tem coeficiente angular 1/2, a perpendicular tem coeficiente -2. A forma geral é
L: 2x + y + d = 0,
e exigimos distância ,s/2=3raiz5 de A. Assim
l|2cdot1 +(-1) + dr|raiz2^2+1^2 = |1 + d|raiz5 =3raiz5 Longrightarrow 1+d = pm15
d=14 ou d=-16. Portanto as duas retas são
L3: 2x + y + 14 = 0, L4: 2x + y - 16 = 0

Passo 5

Os vértices são as interseções de retas adjacentes:
vem . Logo .
.
. Logo .
.
. Logo .
.
. Logo .

Resposta

As equações das retas que contêm os lados são
x - 2y +12 = 0
x - 2y -18 = 0
2x + y +14 = 0
2x + y -16 = 0
e os vértices do quadrado são
(-8,2), (-2,-10), (10,-4) e (4,8).

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