Em cada item, verifique se o teste da integral é aplicável e, em caso positivo, use-o para verificar se as séries convergem ou divergem.
.
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o teste da integral na série
.
O teste da integral diz que, se existe uma função positiva, contínua e decrescente tal que
, então a série
converge ou diverge conforme o comportamento da integral imprópria
O teste da integral diz que, se existe uma função
Passo 2
Definimos
Verificamos as condições:
- Para
, logo . -
é contínua em pois nesse intervalo. - Calculamos a derivada para ver se é decrescente:
Como
e
para
, temos
. Portanto
é decrescente.
Passo 3
Calculamos a integral imprópria
Fazemos a substituição
, de modo que
. Quando
,
; quando
,
. Assim
Levando
,
. Logo a integral diverge.
Passo 4
Pelo teste da integral, como
a série
também diverge.
Resposta
A série diverge.