Em cada item, verifique se o teste da integral é aplicável e, em caso positivo, use-o para verificar se as séries convergem ou divergem.
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \log n}.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o teste da integral na série
\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\log n}.
O teste da integral diz que, se existe uma função f(x) positiva, contínua e decrescente tal que f(n)=a_n, então a série \sum a_n converge ou diverge conforme o comportamento da integral imprópria
\int_{2}^{\infty}f(x)\,dx.

Passo 2

Definimos
f(x)=\frac{1}{x\ln x},\quad x\ge2.
Verificamos as condições:
  1. Para x\ge2, \ln x>0 logo f(x)>0.
  2. f é contínua em [2,\infty) pois x\ln x\neq0 nesse intervalo.
  3. Calculamos a derivada para ver se é decrescente:
f'(x) =\frac{d}{dx}\Bigl(x^{-1}(\ln x)^{-1}\Bigr) =-\frac{1+\ln x}{x^2(\ln x)^2}.
Como 1+\ln x>0 e x^2(\ln x)^2>0 para x\ge2, temos f'(x)<0. Portanto f é decrescente.

Passo 3

Calculamos a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\ln x}.
Fazemos a substituição t=\ln x, de modo que dt=dx/x. Quando x=2, t=\ln2; quando x\to\infty, t\to\infty. Assim
\int_{2}^{A}\frac{dx}{x\ln x} =\int_{\ln2}^{\ln A}\frac{dt}{t} =\bigl[\ln t\bigr]_{\ln2}^{\ln A} =\ln(\ln A)-\ln(\ln2).
Levando A\to\infty, \ln(\ln A)\to\infty. Logo a integral diverge.

Passo 4

Pelo teste da integral, como
\int_{2}^{\infty}\frac{dx}{x\ln x}=\infty,
a série \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln n} também diverge.

Resposta

A série diverge.

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