1. Escolha valores A, B e C não-nulos na função
f(x, y)=\ln \left(2 A x+B y^{2}+C\right)
Para que o domínio f seja o maior possível

Passo 1

O enunciado nos pede para escolher constantes não-nulas A, B e C de modo que o domínio de
f(x,y)=\ln\bigl(2Ax + B y^{2} + C\bigr)
seja o “maior possível”. Aqui o conteúdo é a condição de existência de logaritmo: a expressão dentro do \ln deve ser estritamente positiva.

Passo 2

Escrevemos a condição de domínio como
2Ax + B y^{2} + C > 0.
Para que o conjunto de (x,y) que satisfaz isso seja ilimitado em y, precisamos que, ao crescermos \lvert y\rvert, a parcela B\,y^{2} cresça para +\infty. Logo, devemos ter
B > 0.

Passo 3

Para ampliar também o domínio perto da origem (0,0), é desejável que em (0,0) a expressão já seja positiva, ou seja
2A\cdot0 + B\cdot0^{2} + C = C > 0.
Se C fosse negativo ou nulo, haveria pontos próximos à origem fora do domínio. Assim, devemos ter
C > 0.

Passo 4

Para que o domínio seja ilimitado também na direção de x, observe que, mantendo y fixo,
2Ax + B y^{2} + C > 0
é mais fácil de satisfazer para x\to +\infty se A>0. Caso A<0, o domínio se estenderia para x\to -\infty, mas não para x\to+\infty. Como queremos o domínio o mais amplo possível em ambas as direções de x, escolhemos
A > 0.

Passo 5

Concluímos que a escolha
A>0,\quad B>0,\quad C>0
maximiza o domínio de f. Por exemplo, podemos tomar A=B=C=1. Nesse caso
f(x,y)=\ln\bigl(2x + y^{2} +1\bigr),
e o domínio é
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid 2x + y^{2} +1>0\},
que é ilimitado tanto em x quanto em y.

Resposta

Escolher A>0, B>0 e C>0 (por exemplo, A=B=C=1).

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