Determine
e
tais que
onde
ou
e
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar polinômios
e
tais que
sujeito a que
ou
. As informações dadas são:
Portanto precisamos determinar
e
que satisfazem a divisão de
por
e a condição sobre o grau do resto.
Passo 2
Observações iniciais importantes (essas ajudam a escolher o método): o grau de
é
e o grau de
é
. Quando dividimos um polinômio de grau 3 por um de grau 1 esperamos um quociente de grau
e um resto de grau menor que 1, ou seja, um resto constante. Então podemos procurar
na forma
e
será um número (constante). Vou usar um método rápido e didático: divisão por
via esquema de Ruffini (divisão sintética) — é prático para divisores lineares — e depois farei verificações com propriedades conhecidas.
Passo 3
Explicando o método de Ruffini (divisão sintética) de forma simples: dividir por
corresponde a usar o número
. Escrevemos os coeficientes de
em ordem decrescente de grau e realizamos operações “trazer, multiplicar por
, somar”, que produzem os coeficientes do quociente e o resto. Isso funciona porque cada passo representa subtrair múltiplos de
para eliminar termos de grau decrescente. Para
os coeficientes são
. Vou aplicar o esquema passo a passo.
Passo 4
Aplicando Ruffini com
aos coeficientes
:
- Trago o primeiro coeficiente para baixo: fica
. Esse será o coeficiente de do quociente. - Multiplico esse
por : obtenho . Somo com o próximo coeficiente : . Esse é o coeficiente de do quociente. - Multiplico esse
por : obtenho . Somo com o próximo coeficiente : . Esse é o coeficiente constante do quociente. - Multiplico esse
por : obtenho . Somo com o último coeficiente : . Esse é o resto.
Assim os coeficientes do quociente são
(para
) e o resto é
. Logo
Passo 5
Vou explicar e usar duas verificações rápidas que ajudam muito na prova:
- Teorema do resto: ao dividir por
, o resto é . Aqui , então o resto deve ser . Calculando,
o que coincide com o resto encontrado. Isso confirma que o resto é
.
- Identidade algébrica (diferença de cubos): observe que
. Usando a fatoração de diferença de cubos,
Daí
ou seja
. Essa é uma forma elegante que às vezes é mais rápida que a divisão longa.
Passo 6
Verificação final expandindo para checar a identidade da divisão:
O resto
tem grau
, que é menor que
, então a condição sobre o grau do resto está satisfeita. Tudo consistente.