Determine q(x) e r(x) tais que
f(x)=q(x) g(x)+r(x)
onde r(x)=0 ou \partial r(x)<\partial g(x) e f(x), g(x) \in \mathbb{R}[x].
f(x)=x^{3}+1, g(x)=x-1

Passo 1

O enunciado pede: encontrar polinômios q(x) e r(x) tais que
f(x)=q(x)\,g(x)+r(x),
sujeito a que r(x)=0 ou \partial r(x) < \partial g(x). As informações dadas são:
f(x)=x^{3}+1,\qquad g(x)=x-1.
Portanto precisamos determinar q(x) e r(x) que satisfazem a divisão de f por g e a condição sobre o grau do resto.

Passo 2

Observações iniciais importantes (essas ajudam a escolher o método): o grau de f é \partial f=3 e o grau de g é \partial g=1. Quando dividimos um polinômio de grau 3 por um de grau 1 esperamos um quociente de grau 3-1=2 e um resto de grau menor que 1, ou seja, um resto constante. Então podemos procurar q(x) na forma
q(x)=ax^{2}+bx+c
e r(x) será um número (constante). Vou usar um método rápido e didático: divisão por (x-a) via esquema de Ruffini (divisão sintética) — é prático para divisores lineares — e depois farei verificações com propriedades conhecidas.

Passo 3

Explicando o método de Ruffini (divisão sintética) de forma simples: dividir por x-1 corresponde a usar o número a=1. Escrevemos os coeficientes de f(x) em ordem decrescente de grau e realizamos operações “trazer, multiplicar por a, somar”, que produzem os coeficientes do quociente e o resto. Isso funciona porque cada passo representa subtrair múltiplos de (x-1) para eliminar termos de grau decrescente. Para f(x)=x^{3}+0x^{2}+0x+1 os coeficientes são 1,\,0,\,0,\,1. Vou aplicar o esquema passo a passo.

Passo 4

Aplicando Ruffini com a=1 aos coeficientes 1,\;0,\;0,\;1:
  • Trago o primeiro coeficiente para baixo: fica 1. Esse será o coeficiente de x^{2} do quociente.
  • Multiplico esse 1 por a=1: obtenho 1. Somo com o próximo coeficiente 0: 0+1=1. Esse 1 é o coeficiente de x do quociente.
  • Multiplico esse 1 por a=1: obtenho 1. Somo com o próximo coeficiente 0: 0+1=1. Esse 1 é o coeficiente constante do quociente.
  • Multiplico esse 1 por a=1: obtenho 1. Somo com o último coeficiente 1: 1+1=2. Esse 2 é o resto.
Assim os coeficientes do quociente são 1,\,1,\,1 (para x^{2},x,1) e o resto é 2. Logo
q(x)=x^{2}+x+1,\qquad r(x)=2.

Passo 5

Vou explicar e usar duas verificações rápidas que ajudam muito na prova:
  1. Teorema do resto: ao dividir por x-a, o resto é f(a). Aqui a=1, então o resto deve ser f(1). Calculando,
f(1)=1^{3}+1=1+1=2,
o que coincide com o resto encontrado. Isso confirma que o resto é 2.
  1. Identidade algébrica (diferença de cubos): observe que f(x)-r(x)=x^{3}+1-2=x^{3}-1. Usando a fatoração de diferença de cubos,
x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1).
Daí
\frac{f(x)-r(x)}{x-1}=x^{2}+x+1,
ou seja q(x)=x^{2}+x+1. Essa é uma forma elegante que às vezes é mais rápida que a divisão longa.

Passo 6

Verificação final expandindo para checar a identidade da divisão:
(x-1)(x^{2}+x+1)+2 = x^{3}-1+2 = x^{3}+1 = f(x).
O resto r(x)=2 tem grau 0, que é menor que \partial g=1, então a condição sobre o grau do resto está satisfeita. Tudo consistente.

Resposta

q(x)=x^{2}+x+1 \n
r(x)=2

Exercícios relacionados