Questão 10. Em cada caso, dados f e g \in K[x], encontre os polinômios r, q tais f=q g+r onde ou r=0 ou \partial r<\partial g.
f=x^{5}-x^{3}+3 x-5, g=x-2 e K=\mathbb{Q}

Passo 1

O enunciado pede: dado f e g em K[x], encontrar polinômios q e r tais que
f = qg + r
onde ou r=0 ou \partial r < \partial g.
Dados fornecidos:
f = x^{5}-x^{3}+3x-5,\qquad g = x-2,\qquad K=\mathbb{Q}.
Objetivo concreto: encontrar o quociente q\in\mathbb{Q}[x] e o resto r\in\mathbb{Q}[x] que satisfazem a divisão de f por g.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): existe o algoritmo da divisão para polinômios, que garante que para f,g\in K[x] com g\neq0 existem únicos q,r\in K[x] tais que f=qg+r e ou r=0 ou \partial r<\partial g.
Além disso, para o caso especial g(x)=x-a (grau 1), o Teorema do Resto diz que o resto é simplesmente f(a). Isso é ótimo para calcular o resto rapidamente. Mas ainda precisamos do quociente; para g(x)=x-a uma técnica prática e rápida é a divisão sintética (ou esquema de Horner), que trata os coeficientes do polinômio e usa a para propagar multiplicações e somas. Vou usar a divisão sintética por ser direta e rápida na prova.

Passo 3

Preparando os coeficientes de f. Como falta termos (grau 4 e 2), preenchemos com zeros. Os coeficientes de f em ordem decrescente são:
1,\;0,\;-1,\;0,\;3,\;-5
que correspondem a x^5,x^4,x^3,x^2,x^1,x^0. O divisor é x-2, logo usaremos a=2 na divisão sintética.

Passo 4

Executando a divisão sintética passo a passo (cada etapa: trago o primeiro coeficiente para baixo, multiplico por 2, somo ao próximo coeficiente, e repito):
  1. Trago o primeiro coeficiente 1 para baixo. Esse será o primeiro coeficiente do quociente (coeficiente de x^4).
  • Valor para trazer: 1.
  1. Multiplico 1 por 2 e adiciono ao próximo coeficiente:
  • 1\cdot 2=2. Soma com o próximo coeficiente 0 2. Esse é o coeficiente de x^3 no quociente.
  1. Multiplico 2 por 2 e adiciono ao próximo coeficiente:
  • 2\cdot 2=4. Soma com o próximo coeficiente -1 3. Esse é o coeficiente de x^2.
  1. Multiplico 3 por 2 e adiciono ao próximo coeficiente:
  • 3\cdot 2=6. Soma com o próximo coeficiente 0 6. Esse é o coeficiente de x.
  1. Multiplico 6 por 2 e adiciono ao próximo coeficiente:
  • 6\cdot 2=12. Soma com o próximo coeficiente 3 15. Esse é o termo constante do quociente.
  1. Multiplico 15 por 2 e adiciono ao último coeficiente (termo independente de f):
  • 15\cdot 2=30. Soma com -5 25. Esse valor final é o resto.
Portanto os coeficientes do quociente são 1,2,3,6,15 (daí q tem grau 4) e o resto é 25.

Passo 5

Escrevendo o quociente e o resto encontrados:
q(x)=x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+6x+15,\qquad r=25.
Checagem rápida usando o Teorema do Resto: f(2)=2^{5}-2^{3}+3\cdot2-5=32-8+6-5=25, confirma que o resto é 25. Outra verificação é reconstruir f como q(x)(x-2)+25 e verificar a igualdade:
Multiplicando q(x) por x-2:
q(x)(x-2)= (x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+6x+15)x - (x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+6x+15)\cdot 2
= x^{5}+2x^{4}+3x^{3}+6x^{2}+15x \;-\; (2x^{4}+4x^{3}+6x^{2}+12x+30)
= x^{5} +0x^{4} -x^{3} +0x^{2} +3x -30.
Somando o resto 25 obtemos
x^{5}-x^{3}+3x-30+25 = x^{5}-x^{3}+3x-5,
que é exatamente f(x). Tudo conferido.

Passo 6

Resumo final do procedimento para a prova (dicas rápidas que você pode usar na hora):
  • Se o divisor for x-a, calcule o resto como f(a) (Teorema do Resto).
  • Use divisão sintética para obter o quociente rapidamente: escreva coeficientes com zeros para termos ausentes, traga o primeiro coeficiente, multiplique por a, some, repita.
  • Sempre verifique com f=qg+r ou avaliando f(a).

Resposta

q(x)=x^{4}+2x^{3}+3x^{2}+6x+15
r=25

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