Questão 10. Em cada caso, dados
e
, encontre os polinômios
tais
onde ou
ou
.
e
Passo 1
O enunciado pede: dado
e
em
, encontrar polinômios
e
tais que
onde ou
ou
.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
Objetivo concreto: encontrar o quociente
e o resto
que satisfazem a divisão de
por
.
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): existe o algoritmo da divisão para polinômios, que garante que para
com
existem únicos
tais que
e ou
ou
.
Além disso, para o caso especial (grau
), o Teorema do Resto diz que o resto é simplesmente
. Isso é ótimo para calcular o resto rapidamente. Mas ainda precisamos do quociente; para
uma técnica prática e rápida é a divisão sintética (ou esquema de Horner), que trata os coeficientes do polinômio e usa
para propagar multiplicações e somas. Vou usar a divisão sintética por ser direta e rápida na prova.
Além disso, para o caso especial
Passo 3
Preparando os coeficientes de
. Como falta termos (grau 4 e 2), preenchemos com zeros. Os coeficientes de
em ordem decrescente são:
que correspondem a
. O divisor é
, logo usaremos
na divisão sintética.
Passo 4
Executando a divisão sintética passo a passo (cada etapa: trago o primeiro coeficiente para baixo, multiplico por
, somo ao próximo coeficiente, e repito):
- Trago o primeiro coeficiente
para baixo. Esse será o primeiro coeficiente do quociente (coeficiente de ).
- Valor para trazer:
.
- Multiplico
por e adiciono ao próximo coeficiente:
-
. Soma com o próximo coeficiente dá . Esse é o coeficiente de no quociente.
- Multiplico
por e adiciono ao próximo coeficiente:
-
. Soma com o próximo coeficiente dá . Esse é o coeficiente de .
- Multiplico
por e adiciono ao próximo coeficiente:
-
. Soma com o próximo coeficiente dá . Esse é o coeficiente de .
- Multiplico
por e adiciono ao próximo coeficiente:
-
. Soma com o próximo coeficiente dá . Esse é o termo constante do quociente.
- Multiplico
por e adiciono ao último coeficiente (termo independente de ):
-
. Soma com dá . Esse valor final é o resto.
Portanto os coeficientes do quociente são
(daí
tem grau
) e o resto é
.
Passo 5
Escrevendo o quociente e o resto encontrados:
Checagem rápida usando o Teorema do Resto:
, confirma que o resto é
. Outra verificação é reconstruir
como
e verificar a igualdade:
Multiplicando
por
:
Somando o resto
obtemos
que é exatamente
. Tudo conferido.
Passo 6
Resumo final do procedimento para a prova (dicas rápidas que você pode usar na hora):
- Se o divisor for
, calcule o resto como (Teorema do Resto). - Use divisão sintética para obter o quociente rapidamente: escreva coeficientes com zeros para termos ausentes, traga o primeiro coeficiente, multiplique por
, some, repita. - Sempre verifique com
ou avaliando .