Determine q(x) e r(x) tais que
f(x)=q(x) g(x)+r(x)
onde r(x)=0 ou \partial r(x)<\partial g(x) e f(x), g(x) \in \mathbb{R}[x].
f(x)=x^{3}+x-1, g(x)=x^{2}+1

Passo 1

O enunciado pede que eu determine polinômios q(x) e r(x) tais que
f(x)=q(x)\,g(x)+r(x)
onde r(x)=0 ou \deg r(x)<\deg g(x). Os dados fornecidos são:
f(x)=x^{3}+x-1,\qquad g(x)=x^{2}+1.
Ou seja: encontrar o quociente q(x) e o resto r(x) da divisão de f por g.

Passo 2

Primeiro, entenda duas noções básicas que vou usar:
  • \deg p(x) significa o grau do polinômio p(x), ou seja, o maior expoente de x com coeficiente não nulo em p.
  • No algoritmo da divisão de polinômios, o primeiro termo do quociente é obtido dividindo o termo de maior grau de f pelo termo de maior grau de g.
Calcule os graus:
\deg f = 3,\qquad \deg g = 2.
Como \deg f = 3 e \deg g = 2, o quociente q(x) terá grau \deg f - \deg g = 1 no máximo (ou seja, será um polinômio de grau 1 ou menor).

Passo 3

Vamos aplicar o algoritmo de divisão passo a passo.
  1. Pegamos o termo de maior grau de f, que é x^{3}, e o termo de maior grau de g, que é x^{2}. Dividindo:
\text{primeiro termo do quociente} = \frac{x^{3}}{x^{2}} = x.
Portanto começamos com
q(x)=x+\cdots
(ou seja, o próximo passo será encontrar se há mais termos no quociente).

Passo 4

  1. Multiplicamos g(x) por esse termo x e subtraímos de f(x):
x\cdot g(x)=x\cdot (x^{2}+1)=x^{3}+x.
Agora fazemos a subtração polinomial alinhando os termos por grau:
f(x)-(x\cdot g(x)) = (x^{3}+0\cdot x^{2}+x-1) - (x^{3}+0\cdot x^{2}+x) .
Realizando a subtração termo a termo:
x^{3}-x^{3}=0,\qquad 0\cdot x^{2}-0\cdot x^{2}=0,\qquad x-x=0,\qquad -1-0=-1.
Logo o resto obtido nesta etapa é o polinômio constante
r(x)=-1.

Passo 5

  1. Verificação da condição do resto: \deg r(x)=\deg(-1)=0 e \deg g(x)=2. Como 0<2, a condição \deg r(x)<\deg g(x) está satisfeita, portanto paramos aqui. Não há mais termos a acrescentar em q(x).
Concluímos que o quociente e o resto são:
q(x)=x,\qquad r(x)=-1.
Observação didática rápida: o algoritmo de divisão de polinômios funciona exatamente como a divisão de números, só que alinhando termos por potência de x. O quociente e o resto obtidos por esse procedimento são únicos; em prova, basta mostrar as operações acima para justificar.

Resposta

q(x)=x
r(x)=-1

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