Determine
e
tais que
onde
ou
e
.
Passo 1
O enunciado pede que eu determine polinômios
e
tais que
onde
ou
. Os dados fornecidos são:
Ou seja: encontrar o quociente
e o resto
da divisão de
por
.
Passo 2
Primeiro, entenda duas noções básicas que vou usar:
-
significa o grau do polinômio , ou seja, o maior expoente de com coeficiente não nulo em . - No algoritmo da divisão de polinômios, o primeiro termo do quociente é obtido dividindo o termo de maior grau de
pelo termo de maior grau de .
Calcule os graus:
Como
e
, o quociente
terá grau
no máximo (ou seja, será um polinômio de grau 1 ou menor).
Passo 3
Vamos aplicar o algoritmo de divisão passo a passo.
- Pegamos o termo de maior grau de
, que é , e o termo de maior grau de , que é . Dividindo:
Portanto começamos com
(ou seja, o próximo passo será encontrar se há mais termos no quociente).
Passo 4
- Multiplicamos
por esse termo e subtraímos de :
Agora fazemos a subtração polinomial alinhando os termos por grau:
Realizando a subtração termo a termo:
Logo o resto obtido nesta etapa é o polinômio constante
Passo 5
- Verificação da condição do resto:
e . Como , a condição está satisfeita, portanto paramos aqui. Não há mais termos a acrescentar em .
Concluímos que o quociente e o resto são:
Observação didática rápida: o algoritmo de divisão de polinômios funciona exatamente como a divisão de números, só que alinhando termos por potência de
. O quociente e o resto obtidos por esse procedimento são únicos; em prova, basta mostrar as operações acima para justificar.