Determine k in R, tal que cos x=k3 e sen x= raiz3 k-13.

Passo 1

O enunciado dá que cos x = k3 e sin x = raiz3k-13. O conteúdo principal é a identidade trigonométrica sin^2x + cos^2x = 1 e precisamos dela para encontrar k.

Passo 2

Aplicamos a identidade sin^2x + cos^2x = 1 substituindo as expressões dadas:
l(k3r)^2 + l(raiz3k-13r)^2 = 1
Ao simplificar, obtemos:
k^29 + 3k-19 = 1
Multiplicando ambos os lados por 9:
$$
k^2 + 3k - 1 = 9 k^2 + 3k - 1 = 9
k^2 + 3k - 10 = 0$$

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática por fatoração ou fórmula de Bhaskara, achamos:
$$
k = 2 \quad ou \quad k = -5$$

Passo 4

Como sin x = raiz3k-13 só faz sentido real se 3k - 1 >= 0, temos k >= tfrac13. Assim descartamos k=-5 e ficamos com k=2.

Resposta

2

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