Verifique que o vetor posição r=x i+y j+z k tem a propriedade enunciada.
nabla|r|=r|r|

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o vetor posição r = x,i + y,j + z,k e queremos verificar que o gradiente da norma desse vetor, ou seja, nabla|r|, é igual a r|r|. Para resolver isso, precisamos entender o que é o gradiente e como calcular a derivada de funções que dependem de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a norma do vetor r. A norma (ou módulo) de um vetor é uma medida do seu comprimento e é dada por:
|r| = raizx^2 + y^2 + z^2

Passo 3

Agora, vamos encontrar o gradiente da norma de r. O gradiente de uma função escalar f(x, y, z) é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é calculado assim:
nabla f = ( partial fpartial x )i + ( partial fpartial y )j + ( partial fpartial z )k
No nosso caso, f(x, y, z) = |r| = raizx^2 + y^2 + z^2, então precisamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x, y e z.

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. Derivada parcial em relação a x:
    partial |r|partial x = xraizx^2 + y^2 + z^2 = x|r|
  2. Derivada parcial em relação a y:
    partial |r|partial y = yraizx^2 + y^2 + z^2 = y|r|
  3. Derivada parcial em relação a z:
    partial |r|partial z = zraizx^2 + y^2 + z^2 = z|r|

Passo 5

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do gradiente:
nabla |r| = x|r|,i + y|r|,j + z|r|,k = x,i + y,j + z,k|r|

Resposta

Portanto, mostramos que:
nabla|r| = r|r|
Isso confirma a propriedade enunciada na questão.

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