Verifique que o vetor posição
tem a propriedade enunciada.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos o vetor posição
e queremos verificar que o gradiente da norma desse vetor, ou seja,
, é igual a
. Para resolver isso, precisamos entender o que é o gradiente e como calcular a derivada de funções que dependem de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a norma do vetor
. A norma (ou módulo) de um vetor é uma medida do seu comprimento e é dada por:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o gradiente da norma de
. O gradiente de uma função escalar
é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função e é calculado assim:
No nosso caso,
, então precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
.
Passo 4
Vamos calcular cada derivada parcial:
-
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
: -
Derivada parcial em relação a
:
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do gradiente:
Resposta
Portanto, mostramos que:
Isso confirma a propriedade enunciada na questão.