Determine X, tal que \left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\\\ 3 & -2 & 0 \\\\ 5 & 0 & 1\end{array}\right] X=\left[\begin{array}{l}5 \\\\ 0 \\\\ 8\end{array}\right].
R.: X=\left[\begin{array}{c}2 \\\\ 3 \\\\ -2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá uma multiplicação matricial e pede o vetor X que satisfaz essa equação. As informações relevantes são:
\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\\\ 3 & -2 & 0 \\\\ 5 & 0 & 1\end{array}\right] X = \left[\begin{array}{c}5 \\\\ 0 \\\\ 8\end{array}\right].
Queremos encontrar o vetor incógnita X, que é um vetor coluna com três entradas. Não há mais informações ocultas: só precisamos resolver essa equação para X.

Passo 2

Vamos escrever X como vetor de incógnitas para visualizar melhor:
X=\left[\begin{array}{c}x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3}\end{array}\right].
Aqui x_{1}, x_{2} e x_{3} são as coordenadas que precisamos determinar. A multiplicação da matriz pela coluna gera um sistema de equações lineares — cada linha da matriz corresponde a uma equação.

Passo 3

Fazendo a multiplicação linha a linha obtemos o sistema equivalente:
\begin{cases} x_{1} + x_{2} + 0\cdot x_{3} = 5,\\[4pt] 3x_{1} - 2x_{2} + 0\cdot x_{3} = 0,\\[4pt] 5x_{1} + 0\cdot x_{2} + x_{3} = 8. \end{cases}
Simplificando os zeros:
\begin{cases} x_{1} + x_{2} = 5,\\[4pt] 3x_{1} - 2x_{2} = 0,\\[4pt] 5x_{1} + x_{3} = 8. \end{cases}
Explicando: cada equação veio de um produto escalar entre a linha da matriz e o vetor X.]

Passo 4

Método escolhido: substituição (é direto aqui porque a primeira equação expressa x_{2} em função de x_{1}). Da primeira equação isolamos x_{2}:
x_{2}=5 - x_{1}.
Isso significa que, para qualquer valor de x_{1}, x_{2} deve ser 5-x_{1} para satisfazer a primeira equação.

Passo 5

Substituímos x_{2}=5-x_{1} na segunda equação para achar x_{1}:
3x_{1} - 2(5 - x_{1}) = 0.
Agora desenvolvemos os parênteses explicando cada passo: -2(5-x_{1}) = -10 + 2x_{1}. Então a equação fica
3x_{1} -10 + 2x_{1} = 0.

Passo 6

Agrupamos termos semelhantes e resolvemos para x_{1}:
3x_{1} + 2x_{1} - 10 = 0 \quad\Rightarrow\quad 5x_{1} - 10 = 0.
Isolando x_{1}:
5x_{1} = 10 \quad\Rightarrow\quad x_{1} = 2.
Comentário didático: somamos os coeficientes de x_{1} (3 e 2) para obter 5, depois somamos/isolamos como em qualquer equação linear de primeiro grau.

Passo 7

Agora que temos x_{1}=2, voltamos à expressão x_{2}=5-x_{1} para encontrar x_{2}:
x_{2}=5-2=3.

Passo 8

Por fim, usamos a terceira equação para encontrar x_{3}. A terceira equação é 5x_{1}+x_{3}=8. Substituindo x_{1}=2:
5\cdot 2 + x_{3} = 8.
Isso dá
10 + x_{3} = 8 \quad\Rightarrow\quad x_{3} = 8-10 = -2.

Passo 9

Fazemos uma checagem rápida (substituir os valores nas três equações) para confirmar:
Primeira: 2 + 3 = 5 OK.
Segunda: 3\cdot 2 - 2\cdot 3 = 6 - 6 = 0 OK.
Terceira: 5\cdot 2 + (-2) = 10 - 2 = 8 OK.
Tudo confere, então os valores encontrados estão corretos.

Resposta

X=\left[\begin{array}{c}2 \\\\ 3 \\\\ -2\end{array}\right]

Exercícios relacionados