Desenvolva a série de cossenos ou senos, conforme o caso. f(x)=\left\{\begin{aligned}-\pi,-2 \pi & <x<-\pi \\\ x,-\pi & <x<\pi \\\ \pi, \pi & <x<2 \pi\end{aligned}\right.
Passo 1
Enunciado e dados (o que o problema fornece e pede):
A função é definida em (-2\pi,2\pi)\) por partes:
\[f(x)=\begin{cases} -\pi, & -2\pi<x<-\pi,\\[4pt] x, & -\pi<x<\pi,\\[4pt] \pi, & \pi<x<2\pi. \end{cases}
O pedido: “Desenvolva a série de cossenos ou senos, conforme o caso.” Ou seja, encontrar a série de Fourier apropriada para f\] no intervalo \((-2\pi,2\pi) (série em senos se for função ímpar, em cossenos se for par, etc.), expressando coeficientes explicitamente.]
Passo 2
Escolha do tipo de série e fórmulas a usar — explicando o porquê (aula curta sobre paridade e séries de Fourier em (-L,L)).
Quando se tem uma função definida em (-L,L), a série de Fourier geral é
Paridade: se f é par (f(-x)=f(x)) então todos os b_n=0 e a série contém só cossenos; se f é ímpar (f(-x)=-f(x)) então todos os a_n=0 (inclusive a_0=0) e a série contém só senos. Isso poupa cálculo e simplifica integrais porque produto de função ímpar com seno (ímpares) é par etc.
Aqui estamos no intervalo (-2\pi,2\pi), logo tomamos L=2\pi. O termo angular será \dfrac{n\pi x}{L}=\dfrac{n\pi x}{2\pi}=\dfrac{n x}{2}.
Passo 3
Verificar a paridade de f (explicando a verificação):
Para 0<x<\pi tem-se f(x)=x e f(-x)= -x, logo f(-x)=-f(x) nessa parte.
Para \pi<x<2\pi tem-se f(x)=\pi e para -2\pi<x<-\pi tem-se f(-x)=-\pi, então também f(-x)=-f(x) nessas partes.
Portanto, para todo x no domínio simétrico (-2\pi,2\pi) vale
f(-x)=-f(x),
isto é, f é uma função ímpar. Conclusão: só há termos seno na série de Fourier (todos os a_n e a_0 são zero).
Passo 4
Fórmula do coeficiente seno para L=2\pi e simplificação pela paridade (aula curta sobre usar simetria para reduzir integrais):
Como f(x) é ímpar e \sin\!\left(\dfrac{n x}{2}\right) também é ímpar, o produto f(x)\sin\!\left(\dfrac{n x}{2}\right) é par. Assim a integral de -2\pi a 2\pi vale o dobro da integral de 0 a 2\pi. Logo