Dê um exemplo de uma função f que seja descontínua em 1, para a qual:
b) f(1) existe, mas lim x 1 f(x) não existe

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de função que seja descontínua em x=1, tal que f(1) esteja bem definida, mas o limite
limₓ→1 f(x) não exista. O conteúdo é continuidade e existência de limite.

Passo 2

Uma escolha clássica é definir a função por partes como
f(x)= sinl(1/(x-1)r),&xneq1, 0,&x=1
Nesse caso, f(1)=0 existe e está bem definida.

Passo 3

Para ver que \limₓ→1 f(x) não existe, note que ao aproximar x de 1 pelas sequências xₙ=1+1/(nπ) temos
f(xₙ)=sin(nπ)=0,
enquanto para yₙ=1+1/(π/2+nπ) temos
f(yₙ)=sinl(π/2+nπr)=(-1)^n,
logo uma subsequência tende a 0 e outra oscila entre ±1, impedindo a existência de um único limite.

Passo 4

Concluímos que f é descontínua em 1 com f(1) definido, mas sem limite em x→1.

Resposta

Por exemplo,
f(x)= sinl(1/(x-1)r),&xneq1, 0,&x=1

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