Dê um exemplo de uma função
que seja descontínua em 1, para a qual:
b)
existe, mas
não existe
b)
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de função que seja descontínua em x=1, tal que f(1) esteja bem definida, mas o limite
limₓ→1 f(x) não exista. O conteúdo é continuidade e existência de limite.
limₓ→1 f(x) não exista. O conteúdo é continuidade e existência de limite.
Passo 2
Uma escolha clássica é definir a função por partes como
Nesse caso, f(1)=0 existe e está bem definida.
Passo 3
Para ver que \limₓ→1 f(x) não existe, note que ao aproximar x de 1 pelas sequências xₙ=1+1/(nπ) temos
enquanto para yₙ=1+1/(π/2+nπ) temos
logo uma subsequência tende a 0 e outra oscila entre ±1, impedindo a existência de um único limite.
Passo 4
Concluímos que f é descontínua em 1 com f(1) definido, mas sem limite em x→1.
Resposta
Por exemplo,