Determine N tal que se tenha \left|I(f)-T_{N}(f)\right|<10^{-4}, onde I(f)=\int_{2}^{4} \ln (x) d x.

Passo 1

O enunciado pede para determinar um inteiro N tal que a aproximação por regra composta do trapézio T_{N}(f) para a integral
I(f)=\int_{2}^{4}\ln(x)\,dx
satisfaça a tolerância
\left|I(f)-T_{N}(f)\right|<10^{-4}.
Informações dadas/implícitas:
  • O intervalo de integração é [a,b]=[2,4], logo a=2 e b=4.
  • A regra usada é a regra composta do trapézio com N subintervalos (passo h=(b-a)/N).
  • Precisa-se encontrar o menor N inteiro que garante o erro solicitado.

Passo 2

Apresentar a fórmula de cota do erro para a regra composta do trapézio e explicar suas variáveis.
Para a regra composta do trapézio, com passo h=(b-a)/N, uma cota clássica do erro é
\left|I(f)-T_{N}(f)\right|\le \frac{(b-a)h^{2}}{12}\,\max_{x\in[a,b]}\left|f''(x)\right|.
Explicando cada termo:
  • I(f)=\int_{a}^{b} f(x)\,dx é o valor exato da integral.
  • T_{N}(f) é a aproximação por trapézio composta com N subintervalos.
  • h=\dfrac{b-a}{N} é o comprimento de cada subintervalo.
  • f''(x) é a segunda derivada de f; \max_{[a,b]}|f''(x)| é o máximo do valor absoluto da segunda derivada no intervalo — isso mede a curvatura da função e controla o erro.
  • A cota vem da soma dos resíduos locais do trapézio em cada subintervalo (não é preciso provar aqui, apenas usar a fórmula).

Passo 3

Calcular f''(x) para f(x)=\ln(x) e encontrar seu máximo absoluto em [2,4].
Derivando:
f'(x)=\frac{1}{x},\qquad f''(x)=-\frac{1}{x^{2}}.
Logo
\left|f''(x)\right|=\frac{1}{x^{2}}.
No intervalo [2,4] a função 1/x^{2} é decrescente quando x aumenta, portanto o máximo ocorre em x=2. Assim
\max_{x\in[2,4]}\left|f''(x)\right|=\frac{1}{2^{2}}=\frac{1}{4}.

Passo 4

Substituir os valores na cota do erro e simplificar em função de N.
Temos b-a=4-2=2 e h=\dfrac{2}{N}. Substituindo na fórmula:
\left|I(f)-T_{N}(f)\right|\le \frac{(b-a)h^{2}}{12}\max_{[2,4]}|f''| = \frac{2\cdot\left(\dfrac{2}{N}\right)^{2}}{12}\cdot\frac{1}{4}.
Calcule passo a passo:
\frac{2\cdot\left(\dfrac{4}{N^{2}}\right)}{12}\cdot\frac{1}{4} = \frac{8}{12\,N^{2}}\cdot\frac{1}{4} = \frac{8}{48\,N^{2}} = \frac{1}{6\,N^{2}}.
Portanto a cota fica
\left|I(f)-T_{N}(f)\right|\le \frac{1}{6\,N^{2}}.

Passo 5

Impor a desigualdade desejada e resolver para N.
Queremos \dfrac{1}{6N^{2}}<10^{-4}. Invertendo (tudo positivo),
N^{2}>\frac{1}{6\cdot 10^{-4}}=\frac{1}{0{,}0006}=1666{,}666\ldots
Logo
N>\sqrt{1666{,}666\ldots}\approx 40{,}824\ldots
Como N deve ser inteiro e a desigualdade exige estrito, o menor inteiro que satisfaz é
N=41.

Resposta

N=41

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