Aproxime as seguintes integrais usando I_{G L}(f, 2) :
\int_{-1}^{1} \frac{1}{1+x^{2}} d x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se aproximar a integral \displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{1+x^{2}}\,dx usando I_{G L}(f,2).
  • A função que será usada é \displaystyle f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}.
  • Não há transformação de intervalo a fazer, porque o método de Gauss–Legendre que vamos usar é diretamente para o intervalo [-1,1].

Passo 2

O que é I_{G L}(f,2) (fórmula e ideia):
  • A quadratura de Gauss–Legendre com n pontos aproxima a integral por uma soma ponderada dos valores da função em pontos especiais (nós) no intervalo [-1,1].
  • Para n=2 a fórmula é
I_{G L}(f,2)=\sum_{i=1}^{2} w_i\,f(x_i),
onde x_1,x_2 são os nós e w_1,w_2 os pesos correspondentes.
  • Esse método é exato para polinômios de grau até 2n-1; no caso n=2 é exato para polinômios até grau 3. Nosso integrando não é polinomial, então teremos uma aproximação.

Passo 3

Nós e pesos para n=2 (como obtê-los e valores utilizados):
  • Os nós são as raízes do polinômio de Legendre P_2(x). O polinômio P_2 é
P_2(x)=\tfrac{1}{2}\,(3x^{2}-1).
  • As raízes de P_2(x)=0 são os nós:
3x^{2}-1=0 \quad\Rightarrow\quad x=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}.
  • Os pesos para n=2 no intervalo [-1,1] são iguais e valem 1. (Isso pode ser verificado pela fórmula geral dos pesos, ou lembrando o resultado padrão da quadratura de Gauss–Legendre de ordem 2.)
  • Portanto:
x_1=-\frac{1}{\sqrt{3}},\qquad x_2=+\frac{1}{\sqrt{3}},\qquad w_1=w_2=1.

Passo 4

Calcular os valores de f nos nós:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{1+x^{2}}.
  • Em x=\dfrac{1}{\sqrt{3}} tem-se
f\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{1}{1+\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}}=\frac{1}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}=0{,}75.
  • Em x=-\dfrac{1}{\sqrt{3}} o valor é o mesmo porque f é função par:
f\!\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{3}{4}=0{,}75.

Passo 5

Aplicar a fórmula da quadratura e calcular a aproximação:
  • Substituindo na fórmula \displaystyle I_{G L}(f,2)=\sum_{i=1}^{2} w_i f(x_i) com w_i=1 e os valores encontrados,
I_{G L}(f,2)=1\cdot f\!\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)+1\cdot f\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=\frac{3}{2}.
  • Em forma decimal (com vírgula conforme convenção): 1{,}5.

Passo 6

Comentário final e comparação rápida (para motivar e dar confiança):
  • A aproximação dada por I_{G L}(f,2) é \dfrac{3}{2}=1{,}5.
  • Para referência, a integral exata pode ser calculada: \displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{1}{1+x^{2}}\,dx=\arctan(1)-\arctan(-1)=\frac{\pi}{2}\approx1{,}5708. Portanto o erro absoluto da aproximação é aproximadamente 0{,}0708 (algo razoável para uma quadratura de apenas 2 pontos).

Resposta

\dfrac{3}{2}=1{,}5

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