Aproxime as seguintes integrais usando
:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede-se aproximar a integral
usando . - A função que será usada é
. - Não há transformação de intervalo a fazer, porque o método de Gauss–Legendre que vamos usar é diretamente para o intervalo
.
Passo 2
O que é
(fórmula e ideia):
- A quadratura de Gauss–Legendre com
pontos aproxima a integral por uma soma ponderada dos valores da função em pontos especiais (nós) no intervalo . - Para
a fórmula é
onde
são os nós e
os pesos correspondentes.
- Esse método é exato para polinômios de grau até
; no caso é exato para polinômios até grau . Nosso integrando não é polinomial, então teremos uma aproximação.
Passo 3
Nós e pesos para
(como obtê-los e valores utilizados):
- Os nós são as raízes do polinômio de Legendre
. O polinômio é
- As raízes de
são os nós:
- Os pesos para
no intervalo são iguais e valem . (Isso pode ser verificado pela fórmula geral dos pesos, ou lembrando o resultado padrão da quadratura de Gauss–Legendre de ordem 2.) - Portanto:
Passo 4
Calcular os valores de
nos nós:
- A função é
. - Em
tem-se
- Em
o valor é o mesmo porque é função par:
Passo 5
Aplicar a fórmula da quadratura e calcular a aproximação:
- Substituindo na fórmula
com e os valores encontrados,
- Em forma decimal (com vírgula conforme convenção):
.
Passo 6
Comentário final e comparação rápida (para motivar e dar confiança):
- A aproximação dada por
é . - Para referência, a integral exata pode ser calculada:
. Portanto o erro absoluto da aproximação é aproximadamente (algo razoável para uma quadratura de apenas 2 pontos).