Encontre as coordenadas esféricas do ponto dado em coordenadas cartesianas.
(raiz3-1,2 raiz3).

Passo 1

O enunciado pede para converter o ponto dado em coordenadas cartesianas para coordenadas esféricas. Estamos lidando com sistemas de coordenadas em três dimensões, mas como o ponto não tem componente z, vale colocar z=0. Para resolver, vamos usar as fórmulas:
– distância ao centro:
rho = raizx^2 + y^2 + z^2
– ângulo no plano xy (longitude):
theta = arctanl(tfracyxr)
– ângulo em relação ao eixo z (colatitude):
phi = arccosl(tfraczrhor)

Passo 2

Calculamos primeiro a distância rho:
rho = raiz(raiz3 - 1)^2 + (2raiz3)^2 + 0^2 = raiz3 - 2raiz3 + 1 + 12 = raiz16 - 2raiz3

Passo 3

Agora o ângulo theta no plano xy. Como o ponto está em x>0 e y>0, usamos diretamente:
theta = arctanl(tfrac2raiz3raiz3 - 1r)
Se quiser simplificar a fração, note que:
2raiz3raiz3 - 1 cdot raiz3 + 1raiz3 + 1 = 2raiz3(raiz3 + 1)2 = 3 + raiz3
Logo theta = arctan(3 + raiz3).

Passo 4

Por fim, como z=0, o ângulo de colatitude phi fica:
phi = arccosl(tfrac0rhor) = arccos(0) = pi2

Resposta

As coordenadas esféricas são
l(rho,,theta,,phir) = l(raiz16 - 2raiz3,;arctanl(3 + raiz3r),;tfracpi2r)

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