Determine a taxa de Nyquist para os seguintes sinais:
x(t)=(sin (4000 pi t)pi t)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a taxa de Nyquist de um sinal específico:
x(t) = (sin (4000 pi t)pi t)^2
Matéria envolvida: Teoria de Amostragem em Processamento de Sinais.
O que vamos precisar: Entender o que é a taxa de Nyquist, identificar a frequência máxima do sinal e aplicar a definição para encontrá-la.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a taxa de Nyquist. Ela é definida como o dobro da maior frequência presente no sinal. Ou seja:
Taxa de Nyquist = 2 times fmáxima á
Para encontrar a taxa de Nyquist, precisamos identificar qual é a frequência máxima do sinal $ x(t) $.

Passo 3

Observando o sinal dado:
x(t) = (sin (4000 pi t)pi t)^2
Podemos simplificar a expressão dentro do seno:
4000 pi t = 2 pi times 2000 t
Isso nos mostra que o sinal interno $ \sin(4000 \pi t) $ tem uma frequência angular de $ 4000 \pi , rad/s $, o que corresponde a uma frequência de:
sin(4000 pi t)

Passo 4

No entanto, nosso sinal $ x(t) $ é o quadrado desse termo:
x(t)
Quando elevamos uma função seno ao quadrado, no domínio da frequência isso corresponde a uma convolução das frequências do sinal original consigo mesmo. Isso significa que a frequência máxima será dobrada.
Então, a frequência máxima de $ x(t) $ será:
x(t) = (sin (4000 pi t)pi t)^2 á

Passo 5

Agora que sabemos que a frequência máxima no sinal $ x(t) $ é 4000 Hz, podemos calcular a taxa de Nyquist:
x(t) á

Resposta

A taxa de Nyquist para o sinal dado é 8000 Hz.

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