Determine a taxa de Nyquist para os seguintes sinais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a taxa de Nyquist de um sinal específico:
Matéria envolvida: Teoria de Amostragem em Processamento de Sinais.
O que vamos precisar: Entender o que é a taxa de Nyquist, identificar a frequência máxima do sinal e aplicar a definição para encontrá-la.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a taxa de Nyquist. Ela é definida como o dobro da maior frequência presente no sinal. Ou seja:
Para encontrar a taxa de Nyquist, precisamos identificar qual é a frequência máxima do sinal $ x(t) $.
Passo 3
Observando o sinal dado:
Podemos simplificar a expressão dentro do seno:
Isso nos mostra que o sinal interno $ \sin(4000 \pi t) $ tem uma frequência angular de $ 4000 \pi , rad/s $, o que corresponde a uma frequência de:
Passo 4
No entanto, nosso sinal $ x(t) $ é o quadrado desse termo:
Quando elevamos uma função seno ao quadrado, no domínio da frequência isso corresponde a uma convolução das frequências do sinal original consigo mesmo. Isso significa que a frequência máxima será dobrada.
Então, a frequência máxima de $ x(t) $ será:
Passo 5
Agora que sabemos que a frequência máxima no sinal $ x(t) $ é 4000 Hz, podemos calcular a taxa de Nyquist:
Resposta
A taxa de Nyquist para o sinal dado é 8000 Hz.