Determine a taxa de Nyquist para os seguintes sinais:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sinal definido por $ x(t) = \frac{\sin(4000\pi t)}{\pi t} $ e precisamos determinar a taxa de Nyquist desse sinal. Para isso, vamos utilizar conceitos de processamento de sinais, especialmente relacionados às frequências presentes no sinal.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar a frequência máxima presente no sinal $ x(t) $. A expressão $ \frac{\sin(4000\pi t)}{\pi t} $ é conhecida como uma função sinc, que está associada a sinais de largura de banda limitada.
Passo 3
A função sinc pode ser representada de forma geral como:
onde $ \omega_0 $ é a frequência angular máxima do sinal.
No nosso caso, comparando as expressões, temos:
Passo 4
Para encontrar a frequência máxima em hertz (Hz), usamos a relação entre frequência angular ($ \omega
f $):
Isolando $ f $:
Substituindo $ \omega_0 $:
Passo 5
A taxa de Nyquist é definida como o dobro da frequência máxima do sinal. Essa taxa é importante para evitar aliasing quando fazemos a amostragem do sinal.
Portanto:
Substituindo $ f_{max} $:
Resposta
A taxa de Nyquist para o sinal $ x(t) $ é $ 4000 $ Hz.