Determine a taxa de Nyquist para os seguintes sinais:
x(t)=sin (4000 pi t)pi t

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um sinal definido por $ x(t) = \frac{\sin(4000\pi t)}{\pi t} $ e precisamos determinar a taxa de Nyquist desse sinal. Para isso, vamos utilizar conceitos de processamento de sinais, especialmente relacionados às frequências presentes no sinal.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar a frequência máxima presente no sinal $ x(t) $. A expressão $ \frac{\sin(4000\pi t)}{\pi t} $ é conhecida como uma função sinc, que está associada a sinais de largura de banda limitada.

Passo 3

A função sinc pode ser representada de forma geral como:
x(t) = sin(omega0 t)pi t
onde $ \omega_0 $ é a frequência angular máxima do sinal.
No nosso caso, comparando as expressões, temos:
omega0

Passo 4

Para encontrar a frequência máxima em hertz (Hz), usamos a relação entre frequência angular ($ \omega omega ê f $):
f
Isolando $ f $:
omega = 2pi f
Substituindo $ \omega_0 $:
f

Passo 5

A taxa de Nyquist é definida como o dobro da frequência máxima do sinal. Essa taxa é importante para evitar aliasing quando fazemos a amostragem do sinal.
Portanto:
Taxa de Nyquist = 2 times fmax
Substituindo $ f_{max} $:
fmax

Resposta

A taxa de Nyquist para o sinal $ x(t) $ é $ 4000 $ Hz.

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