Use as equações de Cauchy-Riemann para verificar que a função dada por
onde
, é derivável em todo
e encontre sua função derivada.
Passo 1
O enunciado pede para verificar, usando as equações de Cauchy-Riemann, que a função
é derivável em todo ponto de seu domínio e encontrar sua derivada. Vamos usar o conteúdo de funções reais de duas variáveis, derivadas parciais e equações de Cauchy-Riemann em coordenadas cartesianas.
Passo 2
Em coordenadas cartesianas escrevemos
$$z=x+\mathrm{i}y,\quad r=\sqrt{x2+y2},\quad \cos\theta=\frac{x}{r},\quad \sin\theta=\frac{y}{r}.
$$
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
e
e verificamos as Cauchy-Riemann.
$$v_x=\frac{2xy}{(x2+y2)^2},\quad v_y=\frac{-x2+y2}{(x2+y2)^2}.
o que mostra que as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas para todo
. Portanto
é derivável (holomorfa) nesse domínio.
Passo 4
Para encontrar
usamos
$$f’(z)=u_x+\mathrm{i},v_x=\frac{-x2+y2}{(x2+y2)2}+\mathrm{i}\frac{2xy}{(x2+y2)2}=rac{-(x2-y2)-2\mathrm{i}xy}{(x2+y2)2}=-\frac{(x+\mathrm{i}y)2}{(x2+y2)2}=-\frac{z2}{|z|4}=-\frac{1}{z2}.
$$
Resposta
f’(z) = -\frac{1}{z^2}