Use as equações de Cauchy-Riemann para verificar que a função dada por
f(z)=cos thetar-i sen thetar
onde z=r e^i theta com r>0 e-pi, é derivável em todo z e encontre sua função derivada.

Passo 1

O enunciado pede para verificar, usando as equações de Cauchy-Riemann, que a função
f(z)=costhetar-isinthetar, z=r e^itheta,;r>0,,-pi
é derivável em todo ponto de seu domínio e encontrar sua derivada. Vamos usar o conteúdo de funções reais de duas variáveis, derivadas parciais e equações de Cauchy-Riemann em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Em coordenadas cartesianas escrevemos
$$z=x+\mathrm{i}y,\quad r=\sqrt{x2+y2},\quad \cos\theta=\frac{x}{r},\quad \sin\theta=\frac{y}{r}.
z=x+iy, r=raizx^2+y^2, costheta=xr, sintheta=yr u(x,y)=\Re f(z)=\frac{x}{x2+y2},\quad v(x,y)=\Im f(z)=-\frac{y}{x2+y2}.
$$

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de u e v e verificamos as Cauchy-Riemann.
ux=-x^2+y^2(x^2+y^2)^2, uy=-2xy(x^2+y^2)^2,
$$v_x=\frac{2xy}{(x2+y2)^2},\quad v_y=\frac{-x2+y2}{(x2+y2)^2}.
vx=2xy(x^2+y^2)^2, vy=-x^2+y^2(x^2+y^2)^2 u_x=v_y\quade\quad u_y=-v_x,$$
o que mostra que as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas para todo ux=vye uy=-vx,. Portanto r>0 é derivável (holomorfa) nesse domínio.

Passo 4

Para encontrar f'(z) usamos
$$f’(z)=u_x+\mathrm{i},v_x=\frac{-x2+y2}{(x2+y2)2}+\mathrm{i}\frac{2xy}{(x2+y2)2}= rac{-(x2-y2)-2\mathrm{i}xy}{(x2+y2)2}=-\frac{(x+\mathrm{i}y)2}{(x2+y2)2}=-\frac{z2}{|z|4}=-\frac{1}{z2}.
$$

Resposta

f’(z) = -\frac{1}{z^2}

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