Encontre as raízes da equação z^3=z0, onde
z0=-1+iraiz2,
e faça um esboço do triângulo equilátero cujos vértices correspondem a estas raízes.

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar as raízes da equação z^3 = z0, onde z0 = -1 + iraiz2, e depois esboçar o triângulo equilátero cujos vértices são essas raízes. O conteúdo aqui é extração de raízes de números complexos usando a forma polar e as raízes da unidade.

Passo 2

Primeiro a gente vai converter z0 para a forma polar r0 e^itheta0. Calculamos o módulo:
r0 = l|z0r| = raiz(-1)^2 + 1^2raiz2 = raiz2raiz2 = 1
E o argumento de z0: o ponto (-1,1) está no segundo quadrante, então
theta0 = argl(-1 + ir) = pi - arctanl(1r) = pi - tfracpi4 = tfrac3pi4

Passo 3

Agora escrevemos
z0 = e^i,3pi/4
Para achar as raízes da equação z^3 = z0, usamos a fórmula das raízes n-ésimas:
zk = r0^1/3expl(i,(theta0 + 2pi k)/3r), k=0,1,2
Como r0=1, fica simplesmente
zk = e^i,(3pi/4 + 2pi k)/3

Passo 4

Agora vamos escrever cada raiz explicitamente para k=0,1,2:
z0 &= e^i,(3pi/4)/3 = e^i,pi/4 = costfracpi4 + isintfracpi4 = tfracraiz22 + itfracraiz22, z1 &= e^i,(3pi/4 + 2pi)/3 = e^i,11pi/12 = costfrac11pi12 + isintfrac11pi12, z2 &= e^i,(3pi/4 + 4pi)/3 = e^i,19pi/12 = e^-i,5pi/12 = costfrac5pi12 - isintfrac5pi12

Passo 5

Como essas três raízes estão todas no círculo de raio 1 e têm argumentos que diferem por 2pi/3, elas formam um triângulo equilátero inscrito nesse círculo. No plano complexo, os vértices ficam nos ângulos pi/4, 11pi/12 e -5pi/12, unidos formam o esboço de um triângulo equilátero centrado na origem.

Resposta

As raízes são
$$z_k = \exp\bigl(i,(\tfrac{3\pi}{4} + 2\pi k)/3\bigr) = e^{i,\bigl(\tfrac{\pi}{4} + \tfrac{2\pi k}{3}\bigr)},\quad k=0,1,2,
$$
e formam um triângulo equilátero de vértices nos pontos de argumento zk = expl(i,(tfrac3pi4 + 2pi k)/3r) = e^i,l(tfracpi4 + tfrac2pi k3r), k=0,1,2, , pi/4 e 11pi/12 no círculo unitário.

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