e faça um esboço do triângulo equilátero cujos vértices correspondem a estas raízes.
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar as raízes da equação , onde , e depois esboçar o triângulo equilátero cujos vértices são essas raízes. O conteúdo aqui é extração de raízes de números complexos usando a forma polar e as raízes da unidade.
Passo 2
Primeiro a gente vai converter para a forma polar . Calculamos o módulo:
E o argumento de z0: o ponto (-1,1) está no segundo quadrante, então
theta0 = argl(-1 + ir) = pi - arctanl(1r) = pi - tfracpi4 = tfrac3pi4
Passo 3
Agora escrevemos
z0 = e^i,3pi/4
Para achar as raízes da equação z^3 = z0, usamos a fórmula das raízes n-ésimas:
zk = r0^1/3expl(i,(theta0 + 2pi k)/3r), k=0,1,2
Como r0=1, fica simplesmente
zk = e^i,(3pi/4 + 2pi k)/3
Passo 4
Agora vamos escrever cada raiz explicitamente para k=0,1,2:
Como essas três raízes estão todas no círculo de raio 1 e têm argumentos que diferem por 2pi/3, elas formam um triângulo equilátero inscrito nesse círculo. No plano complexo, os vértices ficam nos ângulos pi/4, 11pi/12 e -5pi/12, unidos formam o esboço de um triângulo equilátero centrado na origem.
$$
e formam um triângulo equilátero de vértices nos pontos de argumento zk = expl(i,(tfrac3pi4 + 2pi k)/3r) = e^i,l(tfracpi4 + tfrac2pi k3r), k=0,1,2, , pi/4 e 11pi/12 no círculo unitário.