Se f(x, y)=x e^y, determine a taxa de variação de f em P(2,0), na direção de P a Q(12, 2). Em que direção f tem taxa máxima de variação em P? Qual é a taxa máxima de variação em P?

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada direcional de f(x,y)=x e^y no ponto P(2,0) na direção de P para Q(1/2,2), e depois identificar a direção e o valor da taxa máxima de variação em P. Vamos usar o conceito de gradiente e de vetor unitário na direção desejada.

Passo 2

Para obter o gradiente, lembramos que nabla f(x,y)=(partial f/partial x,,partial f/partial y). Como f(x,y)=x e^y, temos
nabla f(x,y)=(e^y,,x e^y)
Em P(2,0) isso vira
nabla f(2,0)=(e^0,,2e^0)=(1,2)

Passo 3

O vetor que vai de P a Q é
$$v=Q-P=\bigl(\tfrac12-2,,2-0\bigr)=\bigl(-\tfrac32,2\bigr).
v=Q-P=l(tfrac12-2,,2-0r)=l(-tfrac32,2r) é|v|=\sqrt{(-\tfrac32)2+22}=\sqrt{\tfrac94+4}=\tfrac52,
|v|=raiz(-tfrac32)^2+2^2=raiztfrac94+4=tfrac52, áéu=\frac{v}{|v|}=\Bigl(-\tfrac{3}{5},,\tfrac{4}{5}\Bigr).
$$

Passo 4

A derivada direcional de f em P na direção de u é o produto escalar
$$D_uf§=\nabla f(2,0)\cdot u=(1,2)\cdot\Bigl(-\tfrac{3}{5},,\tfrac{4}{5}\Bigr)=1\cdot(-\tfrac35)+2\cdot(\tfrac45)=\frac{-3+8}{5}=1.
$$

Passo 5

A direção de maior variação de f em P é dada pelo próprio vetor gradiente nabla f(2,0)=(1,2). Se quisermos o vetor unitário nessa direção, normalizamos:
|nabla f(2,0)|=raiz1^2+2^2=raiz5,
$$u_{máx}=\Bigl(\tfrac1{\sqrt5},,\tfrac2{\sqrt5}\Bigr).
$$

Passo 6

A taxa máxima de variação em P é justamente a norma do gradiente naquele ponto, ou seja,
$$\max D_uf§=|\nabla f(2,0)|=\sqrt5.
$$

Resposta

A derivada direcional em P na direção de P para Q é 1; a direção de maior variação em P é o vetor unitário (1/√5,,2/√5); e a taxa máxima de variação em P vale √5.

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