Se
, determine a taxa de variação de
em
, na direção de
a
. Em que direção
tem taxa máxima de variação em
? Qual é a taxa máxima de variação em
?
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada direcional de
no ponto
na direção de
para
, e depois identificar a direção e o valor da taxa máxima de variação em
. Vamos usar o conceito de gradiente e de vetor unitário na direção desejada.
Passo 2
Para obter o gradiente, lembramos que
. Como
, temos
Em
Passo 3
O vetor que vai de
a
é
$$v=Q-P=\bigl(\tfrac12-2,,2-0\bigr)=\bigl(-\tfrac32,2\bigr).
$$
Passo 4
A derivada direcional de
em
na direção de
é o produto escalar
$$D_uf§=\nabla f(2,0)\cdot u=(1,2)\cdot\Bigl(-\tfrac{3}{5},,\tfrac{4}{5}\Bigr)=1\cdot(-\tfrac35)+2\cdot(\tfrac45)=\frac{-3+8}{5}=1.
$$
Passo 5
A direção de maior variação de
em
é dada pelo próprio vetor gradiente
. Se quisermos o vetor unitário nessa direção, normalizamos:
$$u_{máx}=\Bigl(\tfrac1{\sqrt5},,\tfrac2{\sqrt5}\Bigr).
$$
Passo 6
A taxa máxima de variação em
é justamente a norma do gradiente naquele ponto, ou seja,
$$\max D_uf§=|\nabla f(2,0)|=\sqrt5.
$$
Resposta
A derivada direcional em P na direção de P para Q é 1; a direção de maior variação em P é o vetor unitário
; e a taxa máxima de variação em P vale √5.