Mostre que as séries abaixo são absolutamente convergentes
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente mostrar que a série é absolutamente convergente. Isso está na área de análise de séries, especificamente sobre convergência absoluta. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que é convergência absoluta e aplicar um teste de convergência adequado.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre convergência absoluta. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos também converge. Ou seja, mesmo se retirarmos os sinais negativos (se houver), ainda assim a soma dá um número finito.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso à nossa série. Queremos mostrar que:
Conhecemos que |cos k| sempre está entre 0 e 1, ou seja, |cos k| <= 1 para todo k. Então, podemos dizer que:
| cos kk^4 | <= 1k^4
Agora, sabemos que a série sumk=1^+infty 1k^4 é uma série p com p = 4. E séries p convergem se p > 1. Como 4 > 1, essa série converge.
Passo 4
Como | cos kk^4 | <= 1k^4 e a série sum 1k^4 converge, pelo Teste da Comparação, podemos concluir que a série sum |cos k|k^4 também converge. Portanto, a série original é absolutamente convergente.
Resposta
A série sumk=1^+infty cos kk^4 é absolutamente convergente.