(2,0) Mostre que a curva r(t)=(2 sen t, 2 cos t, 2 sen t) é plana e determine o plano em que ela está contida.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a curva r(t)=(2sin t,,2cos t,,2sin t) é plana e para encontrar o plano que a contém. O conteúdo aqui é curvas no espaço e critério de planaridade: vamos precisar usar a definição de curva plana e ver que todos os pontos de r(t) satisfazem uma mesma equação de plano.

Passo 2

Uma curva r(t) é dita plana se existe um vetor normal constante n e um escalar d tais que para todo t valha \n
ncdot r(t)=d
Nosso objetivo é encontrar esse n e d.

Passo 3

Observando que as componentes x e z de r(t) são iguais (ambas 2sin t), percebemos que elas satisfazem
x-z = 2sin t - 2sin t = 0
Isso sugere escolher o vetor normal
n = (1,0,-1)
e o escalar d=0, pois então
ncdot r(t) = 1cdot(2sin t) + 0cdot(2cos t) + (-1)cdot(2sin t) = 0

Passo 4

Como ncdot r(t)=0 independe de t, todos os pontos de r(t) estão no plano de equação
x - z = 0

Resposta

O plano que contém a curva é dado por
x - z = 0

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