Determine a taxa de variação máxima de f em (1,1) e a direção e o sentido em que isso ocorre. Também determine a taxa de variação mínima de f em (1,1) e a direção e o sentido em que isso ocorre.
Considere a função
f(x, y)=ln (x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pede a taxa de variação máxima e mínima de f(x,y)=ln(x^2+y^2) no ponto (1,1) e as direções correspondentes. Vamos usar derivadas parciais para calcular o gradiente e aplicar a definição de derivada direcional, já que a taxa de variação máxima ocorre na direção do gradiente e a mínima na direção oposta.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de f. Usando a regra da cadeia, temos:
partial fpartial x=1x^2+y^2cdot2x,partial fpartial y=1x^2+y^2cdot2y
Assim, o gradiente de f é
nabla f(x,y)=l(2xx^2+y^2,;2yx^2+y^2r)

Passo 3

Avaliando no ponto (1,1) obtemos
nabla f(1,1)=l(2cdot11+1,;2cdot11+1r)=(1,1)

Passo 4

A derivada direcional máxima em (1,1) é o módulo do gradiente e ocorre na direção do próprio gradiente. Calculamos:
|nabla f(1,1)|=raiz1^2+1^2=raiz2

Passo 5

Portanto, a taxa de variação máxima é raiz2 na direção do vetor unitário
u=1raiz2(1,1)=l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r)

Passo 6

A taxa de variação mínima é negativa dessa magnitude, ou seja, -raiz2, e ocorre na direção oposta ao gradiente:
umín=l(-tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2r)í

Resposta

Taxa de variação máxima raiz2 na direção (tfrac1raiz2,tfrac1raiz2). Taxa de variação mínima -raiz2 na direção ( -tfrac1raiz2,-tfrac1raiz2).

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