Determine a taxa de variação máxima de
em
e a direção e o sentido em que isso ocorre. Também determine a taxa de variação mínima de
em
e a direção e o sentido em que isso ocorre.
Considere a função
Considere a função
Passo 1
O enunciado pede a taxa de variação máxima e mínima de
no ponto
e as direções correspondentes. Vamos usar derivadas parciais para calcular o gradiente e aplicar a definição de derivada direcional, já que a taxa de variação máxima ocorre na direção do gradiente e a mínima na direção oposta.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de
. Usando a regra da cadeia, temos:
Assim, o gradiente de
Passo 3
Avaliando no ponto
obtemos
Passo 4
A derivada direcional máxima em
é o módulo do gradiente e ocorre na direção do próprio gradiente. Calculamos:
Passo 5
Portanto, a taxa de variação máxima é
na direção do vetor unitário
Passo 6
A taxa de variação mínima é negativa dessa magnitude, ou seja,
, e ocorre na direção oposta ao gradiente:
Resposta
Taxa de variação máxima
na direção
. Taxa de variação mínima
na direção
.