onde R e região entre os círculos centrados na origem de raios 1 e 2 .
Passo 1
Então, a gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que é a área entre dois círculos com raios 1 e 2, ambos centrados na origem. Vamos usar coordenadas polares pra facilitar a resolução. Pra isso, a gente vai precisar converter a função e definir os limites de integração em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos trocar as coordenadas cartesianas e por coordenadas polares. Sabemos que:
Então, . A função que vamos integrar fica:
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração. A região está entre dois círculos com raios 1 e 2, então o raio varia de 1 a 2. E como estamos falando de círculos completos, o ângulo varia de 0 a .
Passo 4
Em coordenadas polares, o elemento de área é dado por . Então, a integral dupla fica:
Isso significa que vamos integrar primeiro em de 1 a 2 e depois em de 0 a .
Passo 5
Vamos resolver a parte de dentro da integral primeiro, que é em relação a :
Aqui, distribuímos o na expressão .
Passo 6
Agora, integramos cada termo separadamente:
Então, substituindo os limites:
Passo 7
Calculando:
92 (2^2 - 1^2) = 92 (4 - 1) = 92 times 3 = 272
14 (2^4 - 1^4) = 14 (16 - 1) = 14 times 15 = 154
Então, a diferença fica:
272 - 154 = 544 - 154 = 394
Passo 8
Agora, integramos o resultado com relação a theta:
integral0^2pi 394 , dtheta = 394 times (2pi) = 784 pi = 392 pi