Usando coordenadas polares, calcule
integral duplaR 9-x^2-y^2 d A
onde R e região entre os círculos centrados na origem de raios 1 e 2 .

Passo 1

Então, a gente precisa calcular a integral dupla de 9 - x^2 - y^2 sobre a região R, que é a área entre dois círculos com raios 1 e 2, ambos centrados na origem. Vamos usar coordenadas polares pra facilitar a resolução. Pra isso, a gente vai precisar converter a função e definir os limites de integração em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos trocar as coordenadas cartesianas x e y por coordenadas polares. Sabemos que:
x = r cos theta e y = r sin theta
Então, x^2 + y^2 = r^2. A função que vamos integrar fica:
9 - x^2 - y^2 = 9 - r^2

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. A região R está entre dois círculos com raios 1 e 2, então o raio r varia de 1 a 2. E como estamos falando de círculos completos, o ângulo theta varia de 0 a 2pi.

Passo 4

Em coordenadas polares, o elemento de área dA é dado por r , dr , dtheta. Então, a integral dupla fica:
integral duplaR (9 - r^2) , r , dr , dtheta
Isso significa que vamos integrar r(9 - r^2) primeiro em r de 1 a 2 e depois em theta de 0 a 2pi.

Passo 5

Vamos resolver a parte de dentro da integral primeiro, que é em relação a r:
integral1^2 (9r - r^3) , dr
Aqui, distribuímos o r na expressão 9 - r^2.

Passo 6

Agora, integramos cada termo separadamente:
integral 9r , dr = 92 r^2
integral r^3 , dr = 14 r^4
Então, substituindo os limites:
92 r^2 |1^2 - 14 r^4 |1^2

Passo 7

Calculando:
92 (2^2 - 1^2) = 92 (4 - 1) = 92 times 3 = 272
14 (2^4 - 1^4) = 14 (16 - 1) = 14 times 15 = 154
Então, a diferença fica:
272 - 154 = 544 - 154 = 394

Passo 8

Agora, integramos o resultado com relação a theta:
integral0^2pi 394 , dtheta = 394 times (2pi) = 784 pi = 392 pi

Resposta

A integral dupla vale 392 pi.

Exercícios relacionados